MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cph2ass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cph2ass 23233
Description: Move scalar multiplication to outside of inner product. See his35 28275. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (·𝑖𝑊)
cphipcj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphass.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphass.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphass.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
cph2ass ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶) , (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 , 𝐷)))

Proof of Theorem cph2ass
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2 simp2r 1243 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐵𝐾)
3 simp3l 1244 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐶𝑉)
4 simp3r 1245 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐷𝑉)
5 cphipcj.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
6 cphipcj.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 cphass.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 cphass.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
9 cphass.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
105, 6, 7, 8, 9cphassr 23232 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐵𝐾𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐶 , (𝐵 · 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 , 𝐷)))
111, 2, 3, 4, 10syl13anc 1479 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐶 , (𝐵 · 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 , 𝐷)))
1211oveq2d 6830 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐴 · (𝐶 , (𝐵 · 𝐷))) = (𝐴 · ((∗‘𝐵) · (𝐶 , 𝐷))))
13 simp2l 1242 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐴𝐾)
14 cphlmod 23194 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
15143ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
166, 7, 9, 8lmodvscl 19102 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝐷𝑉) → (𝐵 · 𝐷) ∈ 𝑉)
1715, 2, 4, 16syl3anc 1477 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ 𝑉)
185, 6, 7, 8, 9cphass 23231 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐶𝑉 ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶) , (𝐵 · 𝐷)) = (𝐴 · (𝐶 , (𝐵 · 𝐷))))
191, 13, 3, 17, 18syl13anc 1479 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶) , (𝐵 · 𝐷)) = (𝐴 · (𝐶 , (𝐵 · 𝐷))))
20 cphclm 23209 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
21203ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
227, 8clmsscn 23099 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐾 ⊆ ℂ)
2423, 13sseldd 3745 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2523, 2sseldd 3745 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2625cjcld 14155 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
276, 5cphipcl 23211 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐶𝑉𝐷𝑉) → (𝐶 , 𝐷) ∈ ℂ)
28273expb 1114 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐶 , 𝐷) ∈ ℂ)
29283adant2 1126 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐶 , 𝐷) ∈ ℂ)
3024, 26, 29mulassd 10275 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 , 𝐷)) = (𝐴 · ((∗‘𝐵) · (𝐶 , 𝐷))))
3112, 19, 303eqtr4d 2804 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶) , (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 , 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146   · cmul 10153  ccj 14055  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  ·𝑖cip 16168  LModclmod 19085  ℂModcclm 23082  ℂPreHilccph 23186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-grp 17646  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-cmn 18415  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-rnghom 18937  df-drng 18971  df-subrg 19000  df-staf 19067  df-srng 19068  df-lmod 19087  df-lmhm 19244  df-lvec 19325  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-cnfld 19969  df-phl 20193  df-nlm 22612  df-clm 23083  df-cph 23188
This theorem is referenced by:  pjthlem1  23428
  Copyright terms: Public domain W3C validator