Theorem cshw0 13337

Description: A word cyclically shifted by 0 is the word itself. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 26-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshw0	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

Proof of Theorem cshw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 13336	. . . 4 ⊢ (∅ cyclShift 0) = ∅
2		oveq1 6534	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → (∅ cyclShift 0) = (𝑊 cyclShift 0))
3		id 22	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → ∅ = 𝑊)
4	1, 2, 3	3eqtr3a 2667	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
5	4	a1d 25	. 2 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
6		0z 11221	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		cshword 13334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)))
8	6, 7	mpan2 702	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)))
9	8	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)))
10		necom 2834	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 ↔ 𝑊 ≠ ∅)
11		lennncl 13126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
12		nnrp 11674	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
13		0mod 12518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → (0 mod (#‘𝑊)) = 0)
14	13	opeq1d 4340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩ = ⟨0, (#‘𝑊)⟩)
15	14	oveq2d 6543	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
16	13	opeq2d 4341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩ = ⟨0, 0⟩)
17	16	oveq2d 6543	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 0⟩))
18	15, 17	oveq12d 6545	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
19	11, 12, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
20	10, 19	sylan2b 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
21	9, 20	eqtrd 2643	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
22		swrdid 13226	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
23	22	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
24		swrd00 13216	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩) = ∅
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, 0⟩) = ∅)
26	23, 25	oveq12d 6545	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)) = (𝑊 ++ ∅))
27		ccatrid 13169	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
28	27	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
29	21, 26, 28	3eqtrd 2647	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
30	29	expcom 449	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
31	5, 30	pm2.61ine 2864	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   ≠ wne 2779  ∅c0 3873  ⟨cop 4130  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  ℕcn 10867  ℤcz 11210  ℝ⁺crp 11664   mod cmo 12485  #chash 12934  Word cword 13092   ++ cconcat 13094   substr csubstr 13096   cyclShift ccsh 13331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-hash 12935  df-word 13100  df-concat 13102  df-substr 13104  df-csh 13332

This theorem is referenced by:  cshwn  13340  2cshwcshw  13368  scshwfzeqfzo  13369  cshwrepswhash1  15593  clwwisshclww  26101  erclwwlkref  26107  erclwwlknref  26119  crctcshlem4  41018  clwwisshclwws  41230  erclwwlksref  41236  erclwwlksnref  41248