Theorem cshw0 13586

Description: A word cyclically shifted by 0 is the word itself. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 26-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshw0	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

Proof of Theorem cshw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 13585	. . . 4 ⊢ (∅ cyclShift 0) = ∅
2		oveq1 6697	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → (∅ cyclShift 0) = (𝑊 cyclShift 0))
3		id 22	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → ∅ = 𝑊)
4	1, 2, 3	3eqtr3a 2709	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
5	4	a1d 25	. 2 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
6		0z 11426	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		cshword 13583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)))
8	6, 7	mpan2 707	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)))
10		necom 2876	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 ↔ 𝑊 ≠ ∅)
11		lennncl 13357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
12		nnrp 11880	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
13		0mod 12741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → (0 mod (#‘𝑊)) = 0)
14	13	opeq1d 4439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩ = ⟨0, (#‘𝑊)⟩)
15	14	oveq2d 6706	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
16	13	opeq2d 4440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩ = ⟨0, 0⟩)
17	16	oveq2d 6706	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 0⟩))
18	15, 17	oveq12d 6708	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
19	11, 12, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
20	10, 19	sylan2b 491	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
21	9, 20	eqtrd 2685	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
22		swrdid 13474	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
24		swrd00 13463	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩) = ∅
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, 0⟩) = ∅)
26	23, 25	oveq12d 6708	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)) = (𝑊 ++ ∅))
27		ccatrid 13405	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
29	21, 26, 28	3eqtrd 2689	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
30	29	expcom 450	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
31	5, 30	pm2.61ine 2906	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∅c0 3948  ⟨cop 4216  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  ℕcn 11058  ℤcz 11415  ℝ⁺crp 11870   mod cmo 12708  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325   substr csubstr 13327   cyclShift ccsh 13580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-substr 13335  df-csh 13581

This theorem is referenced by:  cshwn  13589  2cshwcshw  13617  scshwfzeqfzo  13618  cshwrepswhash1  15856  crctcshlem4  26768  clwwisshclwws  26972  erclwwlkref  26977  erclwwlknref  27033