MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmhm 24947
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrmhm 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))

Proof of Theorem dchrmhm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . . . 5 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrmhm.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 eqid 2620 . . . . 5 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
4 eqid 2620 . . . . 5 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
5 dchrmhm.b . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
61, 5dchrrcl 24946 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑁 ∈ ℕ)
71, 2, 3, 4, 6, 5dchrelbas 24942 . . . 4 (𝑥𝐷 → (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (((Base‘𝑍) ∖ (Unit‘𝑍)) × {0}) ⊆ 𝑥)))
87ibi 256 . . 3 (𝑥𝐷 → (𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (((Base‘𝑍) ∖ (Unit‘𝑍)) × {0}) ⊆ 𝑥))
98simpld 475 . 2 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
109ssriv 3599 1 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  cdif 3564  wss 3567  {csn 4168   × cxp 5102  cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  Basecbs 15838   MndHom cmhm 17314  mulGrpcmgp 18470  Unitcui 18620  fldccnfld 19727  ℤ/nczn 19832  DChrcdchr 24938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-plusg 15935  df-dchr 24939
This theorem is referenced by:  dchrzrh1  24950  dchrzrhmul  24952  dchrinvcl  24959  dchrfi  24961  dchrghm  24962  dchrabs  24966  dchrsum2  24974  sumdchr2  24976  sum2dchr  24980  dchrisum0flblem1  25178  rpvmasum2  25182
  Copyright terms: Public domain W3C validator