MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrsum2 24706
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and ϕ(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrsum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrsum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrsum.1 1 = (0g𝐺)
dchrsum.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrsum2.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
Assertion
Ref Expression
dchrsum2 (𝜑 → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
Distinct variable groups:   1 ,𝑎   𝜑,𝑎   𝑈,𝑎   𝑋,𝑎   𝑍,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝐺(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchrsum2
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2616 . 2 ((ϕ‘𝑁) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) → (Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = (ϕ‘𝑁) ↔ Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0)))
2 eqeq2 2616 . 2 (0 = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) → (Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0 ↔ Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0)))
3 fveq1 6083 . . . . . 6 (𝑋 = 1 → (𝑋𝑎) = ( 1𝑎))
4 dchrsum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 dchrsum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 dchrsum.1 . . . . . . 7 1 = (0g𝐺)
7 dchrsum2.u . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑍)
8 dchrsum.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐷)
9 dchrsum.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Base‘𝐺)
104, 9dchrrcl 24678 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
118, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1211adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑈) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑈) → 𝑎𝑈)
144, 5, 6, 7, 12, 13dchr1 24695 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑈) → ( 1𝑎) = 1)
153, 14sylan9eqr 2661 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑈) ∧ 𝑋 = 1 ) → (𝑋𝑎) = 1)
1615an32s 841 . . . 4 (((𝜑𝑋 = 1 ) ∧ 𝑎𝑈) → (𝑋𝑎) = 1)
1716sumeq2dv 14223 . . 3 ((𝜑𝑋 = 1 ) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = Σ𝑎𝑈 1)
185, 7znunithash 19673 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (#‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))
1911, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))
2011phicld 15257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
2120nnnn0d 11194 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
2219, 21eqeltrd 2683 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℕ0)
23 fvex 6094 . . . . . . . . 9 (Unit‘𝑍) ∈ V
247, 23eqeltri 2679 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ V
25 hashclb 12959 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ V → (𝑈 ∈ Fin ↔ (#‘𝑈) ∈ ℕ0))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Fin ↔ (#‘𝑈) ∈ ℕ0)
2722, 26sylibr 222 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
28 ax-1cn 9846 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
29 fsumconst 14306 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑎𝑈 1 = ((#‘𝑈) · 1))
3027, 28, 29sylancl 692 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑎𝑈 1 = ((#‘𝑈) · 1))
3119oveq1d 6538 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝑈) · 1) = ((ϕ‘𝑁) · 1))
3220nncnd 10879 . . . . . 6 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
3332mulid1d 9909 . . . . 5 (𝜑 → ((ϕ‘𝑁) · 1) = (ϕ‘𝑁))
3430, 31, 333eqtrd 2643 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑎𝑈 1 = (ϕ‘𝑁))
3534adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 = 1 ) → Σ𝑎𝑈 1 = (ϕ‘𝑁))
3617, 35eqtrd 2639 . 2 ((𝜑𝑋 = 1 ) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = (ϕ‘𝑁))
374dchrabl 24692 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
38 ablgrp 17963 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
399, 6grpidcl 17215 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 1𝐷)
4011, 37, 38, 394syl 19 . . . . . . 7 (𝜑1𝐷)
414, 5, 9, 7, 8, 40dchreq 24696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 = 1 ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = ( 1𝑘)))
4241notbid 306 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑋 = 1 ↔ ¬ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = ( 1𝑘)))
43 rexnal 2973 . . . . 5 (∃𝑘𝑈 ¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = ( 1𝑘))
4442, 43syl6bbr 276 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝑋 = 1 ↔ ∃𝑘𝑈 ¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘)))
45 df-ne 2777 . . . . . 6 ((𝑋𝑘) ≠ ( 1𝑘) ↔ ¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘))
4611adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑁 ∈ ℕ)
47 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑈)
484, 5, 6, 7, 46, 47dchr1 24695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → ( 1𝑘) = 1)
4948neeq2d 2837 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → ((𝑋𝑘) ≠ ( 1𝑘) ↔ (𝑋𝑘) ≠ 1))
5027adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 𝑈 ∈ Fin)
51 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
524, 5, 9, 51, 8dchrf 24680 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
5351, 7unitss 18425 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
5453sseli 3559 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝑈𝑎 ∈ (Base‘𝑍))
55 ffvelrn 6246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
5652, 54, 55syl2an 492 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑈) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
5756adantlr 746 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
5850, 57fsumcl 14253 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
59 0cnd 9885 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 0 ∈ ℂ)
6052adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
61 simprl 789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 𝑘𝑈)
6253, 61sseldi 3561 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑍))
6360, 62ffvelrnd 6249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
64 subcl 10127 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑘) − 1) ∈ ℂ)
6563, 28, 64sylancl 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑋𝑘) − 1) ∈ ℂ)
66 simprr 791 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (𝑋𝑘) ≠ 1)
67 subeq0 10154 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑋𝑘) − 1) = 0 ↔ (𝑋𝑘) = 1))
6863, 28, 67sylancl 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) = 0 ↔ (𝑋𝑘) = 1))
6968necon3bid 2821 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) ≠ 0 ↔ (𝑋𝑘) ≠ 1))
7066, 69mpbird 245 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑋𝑘) − 1) ≠ 0)
71 oveq2 6531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → (𝑘(.r𝑍)𝑥) = (𝑘(.r𝑍)𝑎))
7271fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)) = (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎)))
7372cbvsumv 14216 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑥𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)) = Σ𝑎𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎))
744, 5, 9dchrmhm 24679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
7574, 8sseldi 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
7675ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
7762adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑍))
7854adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑍))
79 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
8079, 51mgpbas 18260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
81 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.r𝑍) = (.r𝑍)
8279, 81mgpplusg 18258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
83 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
84 cnfldmul 19515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r‘ℂfld)
8583, 84mgpplusg 18258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
8680, 82, 85mhmlin 17107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎)) = ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
8776, 77, 78, 86syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎)) = ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
8887sumeq2dv 14223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑎𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎)) = Σ𝑎𝑈 ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
8973, 88syl5eq 2651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑥𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)) = Σ𝑎𝑈 ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
90 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑘(.r𝑍)𝑥) → (𝑋𝑎) = (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)))
9111nnnn0d 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
925zncrng 19653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
93 crngring 18323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
94 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
957, 94unitgrp 18432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑍 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
9691, 92, 93, 954syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
9796adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
98 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐))) = (𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))
997, 94unitgrpbas 18431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
10094, 82ressplusg 15760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ V → (.r𝑍) = (+g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
10124, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑍) = (+g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
10298, 99, 101grplactf1o 17284 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))‘𝑘):𝑈1-1-onto𝑈)
10397, 61, 102syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))‘𝑘):𝑈1-1-onto𝑈)
10498, 99grplactval 17282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝑈𝑥𝑈) → (((𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))‘𝑘)‘𝑥) = (𝑘(.r𝑍)𝑥))
10561, 104sylan 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝑈) → (((𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))‘𝑘)‘𝑥) = (𝑘(.r𝑍)𝑥))
10690, 50, 103, 105, 57fsumf1o 14243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = Σ𝑥𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)))
10750, 63, 57fsummulc2 14300 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = Σ𝑎𝑈 ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
10889, 106, 1073eqtr4rd 2650 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))
10958mulid2d 9910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (1 · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))
110108, 109oveq12d 6541 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) − (1 · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))) = (Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) − Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)))
11158subidd 10227 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) − Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = 0)
112110, 111eqtrd 2639 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) − (1 · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))) = 0)
113 1cnd 9908 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 1 ∈ ℂ)
11463, 113, 58subdird 10333 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = (((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) − (1 · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))))
11565mul01d 10082 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) · 0) = 0)
116112, 114, 1153eqtr4d 2649 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = (((𝑋𝑘) − 1) · 0))
11758, 59, 65, 70, 116mulcanad 10507 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0)
118117expr 640 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → ((𝑋𝑘) ≠ 1 → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
11949, 118sylbid 228 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → ((𝑋𝑘) ≠ ( 1𝑘) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
12045, 119syl5bir 231 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → (¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
121120rexlimdva 3008 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘𝑈 ¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
12244, 121sylbid 228 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑋 = 1 → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
123122imp 443 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 1 ) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0)
1241, 2, 36, 123ifbothda 4068 1 (𝜑 → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  wrex 2892  Vcvv 3168  ifcif 4031  cmpt 4633  wf 5782  1-1-ontowf1o 5785  cfv 5786  (class class class)co 6523  Fincfn 7814  cc 9786  0cc0 9788  1c1 9789   · cmul 9793  cmin 10113  cn 10863  0cn0 11135  #chash 12930  Σcsu 14206  ϕcphi 15249  Basecbs 15637  s cress 15638  +gcplusg 15710  .rcmulr 15711  0gc0g 15865   MndHom cmhm 17098  Grpcgrp 17187  Abelcabl 17959  mulGrpcmgp 18254  Ringcrg 18312  CRingccrg 18313  Unitcui 18404  fldccnfld 19509  ℤ/nczn 19611  DChrcdchr 24670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-ec 7604  df-qs 7608  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-rp 11661  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-mod 12482  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-sum 14207  df-dvds 14764  df-gcd 14997  df-phi 15251  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-0g 15867  df-imas 15933  df-qus 15934  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mhm 17100  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-mulg 17306  df-subg 17356  df-nsg 17357  df-eqg 17358  df-ghm 17423  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-cring 18315  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-rnghom 18480  df-subrg 18543  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lsp 18735  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-lidl 18937  df-rsp 18938  df-2idl 18995  df-cnfld 19510  df-zring 19580  df-zrh 19612  df-zn 19615  df-dchr 24671
This theorem is referenced by:  dchrsum  24707
  Copyright terms: Public domain W3C validator