MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flblem1 24914
Description: Lemma for dchrisum0flb 24916. Base case, prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0flb.r (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flblem1.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
dchrisum0flblem1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem1 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝑃,𝑏,𝑞,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem1
Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9911 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2 0red 9897 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ ¬ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4069 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
4 1red 9911 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ∈ ℝ)
5 fzfid 12589 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝐴) ∈ Fin)
6 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
7 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87nnnn0d 11198 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
11 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
129, 10, 11znzrhfo 19660 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13 fof 6013 . . . . . . . . . 10 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
148, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
15 dchrisum0flblem1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
16 prmz 15173 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
1814, 17ffvelrnd 6253 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍))
196, 18ffvelrnd 6253 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
20 elfznn0 12257 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → 𝑖 ∈ ℕ0)
21 reexpcl 12694 . . . . . . 7 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2an 492 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
235, 22fsumrecl 14258 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
2423adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
25 breq1 4580 . . . . . 6 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 ≤ 1 ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1))
26 breq1 4580 . . . . . 6 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1))
27 1le1 10504 . . . . . 6 1 ≤ 1
28 0le1 10400 . . . . . 6 0 ≤ 1
2925, 26, 27, 28keephyp 4101 . . . . 5 if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1
3029a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1)
31 dchrisum0flblem1.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
32 nn0uz 11554 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
3331, 32syl6eleq 2697 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘0))
34 fzn0 12181 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
3533, 34sylibr 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝐴) ≠ ∅)
36 hashnncl 12970 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ∈ Fin → ((#‘(0...𝐴)) ∈ ℕ ↔ (0...𝐴) ≠ ∅))
375, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘(0...𝐴)) ∈ ℕ ↔ (0...𝐴) ≠ ∅))
3835, 37mpbird 245 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(0...𝐴)) ∈ ℕ)
3938adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (#‘(0...𝐴)) ∈ ℕ)
4039nnge1d 10910 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ≤ (#‘(0...𝐴)))
41 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1)
4241oveq1d 6542 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = (1↑𝑖))
43 elfzelz 12168 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → 𝑖 ∈ ℤ)
44 1exp 12706 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → (1↑𝑖) = 1)
4642, 45sylan9eq 2663 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = 1)
4746sumeq2dv 14227 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1)
48 fzfid 12589 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (0...𝐴) ∈ Fin)
49 ax-1cn 9850 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
50 fsumconst 14310 . . . . . . 7 (((0...𝐴) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((#‘(0...𝐴)) · 1))
5148, 49, 50sylancl 692 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((#‘(0...𝐴)) · 1))
5239nncnd 10883 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (#‘(0...𝐴)) ∈ ℂ)
5352mulid1d 9913 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → ((#‘(0...𝐴)) · 1) = (#‘(0...𝐴)))
5447, 51, 533eqtrd 2647 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = (#‘(0...𝐴)))
5540, 54breqtrrd 4605 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
563, 4, 24, 30, 55letrd 10045 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
57 oveq1 6534 . . . . . . 7 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
5857breq1d 4587 . . . . . 6 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → ((1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)))))
59 oveq1 6534 . . . . . . 7 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
6059breq1d 4587 . . . . . 6 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → ((0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)))))
61 1re 9895 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
6219adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
63 resubcl 10196 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6461, 62, 63sylancr 693 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6564adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6665leidd 10443 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
6764recnd 9924 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℂ)
6867adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℂ)
6968mulid2d 9914 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
70 nn0p1nn 11179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
7131, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
7271ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
73720expd 12841 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (0↑(𝐴 + 1)) = 0)
74 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0)
7574oveq1d 6542 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (0↑(𝐴 + 1)))
7673, 75, 743eqtr4d 2653 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
77 neg1cn 10971 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℂ
7831ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
79 expp1 12684 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) · -1))
8077, 78, 79sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) · -1))
81 prmnn 15172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
8382, 31nnexpcld 12847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑃𝐴) ∈ ℕ)
8483nncnd 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8584ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8685sqsqrtd 13972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((√‘(𝑃𝐴))↑2) = (𝑃𝐴))
8786oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
8815ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
89 nnq 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ)
9089adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ)
91 nnne0 10900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ → (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0)
9291adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0)
93 2z 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℤ
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
95 pcexp 15348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
9688, 90, 92, 94, 95syl121anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
9778nn0zd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
98 pcid 15361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
9988, 97, 98syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
10087, 96, 993eqtr3rd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
101100oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑𝐴) = (-1↑(2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))))
10277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
103 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ)
10488, 103pccld 15339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℕ0)
105 2nn0 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
107102, 104, 106expmuld 12828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))) = ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
108 neg1sqe1 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = 1
109108oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))
110104nn0zd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℤ)
111 1exp 12706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℤ → (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
113109, 112syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
114101, 107, 1133eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑𝐴) = 1)
115114oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑𝐴) · -1) = (1 · -1))
11677mulid2i 9899 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · -1) = -1
117115, 116syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑𝐴) · -1) = -1)
11880, 117eqtrd 2643 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
119118adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
12019recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
121120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
122121ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
123122negnegd 10234 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → --(𝑋‘(𝐿𝑃)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
124 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1)
125124ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1)
126 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (DChr‘𝑁)
127 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = (Base‘𝐺)
128 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑋𝐷)
129128ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → 𝑋𝐷)
130 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
131126, 9, 127, 10, 130, 128, 18dchrn0 24692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0 ↔ (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍)))
132131ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0 ↔ (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍)))
133132biimpa 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍))
134126, 127, 129, 9, 130, 133dchrabs 24702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = 1)
135 eqeq1 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = 1 ↔ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1))
136134, 135syl5ibcom 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1))
137136necon3ad 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1 → ¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃))))
138125, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
13962ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
140139absord 13948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∨ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃))))
141140ord 390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃))))
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃)))
143142, 134eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → -(𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1)
144143negeqd 10126 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → --(𝑋‘(𝐿𝑃)) = -1)
145123, 144eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = -1)
146145oveq1d 6542 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (-1↑(𝐴 + 1)))
147119, 146, 1453eqtr4d 2653 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
14876, 147pm2.61dane 2868 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
149148oveq2d 6543 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
15066, 69, 1493brtr4d 4609 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
15167mul02d 10085 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = 0)
152 peano2nn0 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
15331, 152syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
15419, 153reexpcld 12842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
155154adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
156155recnd 9924 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
157156abscld 13969 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
158 1red 9911 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 1 ∈ ℝ)
159155leabsd 13947 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
160153adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
161121, 160absexpd 13985 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)))
162121abscld 13969 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
163121absge0d 13977 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))))
164126, 127, 9, 10, 128, 18dchrabs2 24704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1)
165164adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1)
166 exple1 12737 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∧ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1) ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
167162, 163, 165, 160, 166syl31anc 1320 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
168161, 167eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ≤ 1)
169155, 157, 158, 159, 168letrd 10045 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
170 subge0 10390 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1))
17161, 155, 170sylancr 693 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1))
172169, 171mpbird 245 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
173151, 172eqbrtrd 4599 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
174173adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ ¬ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
17558, 60, 150, 174ifbothda 4072 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
176 0re 9896 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
17761, 176keepel 4104 . . . . . . 7 if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
179 resubcl 10196 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18061, 155, 179sylancr 693 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
181124necomd 2836 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 1 ≠ (𝑋‘(𝐿𝑃)))
18262leabsd 13947 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))))
18362, 162, 158, 182, 165letrd 10045 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≤ 1)
18462, 158, 183leltned 10041 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1 ↔ 1 ≠ (𝑋‘(𝐿𝑃))))
185181, 184mpbird 245 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1)
186 posdif 10370 . . . . . . . 8 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
18762, 61, 186sylancl 692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
188185, 187mpbid 220 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
189 lemuldiv 10752 . . . . . 6 ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ ∧ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))) → ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))))
190178, 180, 64, 188, 189syl112anc 1321 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))))
191175, 190mpbid 220 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
19231nn0zd 11312 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
193 fzval3 12359 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
194192, 193syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
195194adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
196195sumeq1d 14225 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
197 0nn0 11154 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
198197a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ∈ ℕ0)
199153, 32syl6eleq 2697 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘0))
200199adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘0))
201121, 124, 198, 200geoserg 14383 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = ((((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
202121exp0d 12819 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) = 1)
203202oveq1d 6542 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
204203oveq1d 6542 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
205196, 201, 2043eqtrd 2647 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
206191, 205breqtrrd 4605 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
20756, 206pm2.61dane 2868 . 2 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
208 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0g𝐺)
209 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
2109, 11, 7, 126, 127, 208, 209dchrisum0fval 24911 . . . 4 ((𝑃𝐴) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
21183, 210syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
212 fveq2 6088 . . . . 5 (𝑘 = (𝑃𝑖) → (𝐿𝑘) = (𝐿‘(𝑃𝑖)))
213212fveq2d 6092 . . . 4 (𝑘 = (𝑃𝑖) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))))
214 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)) = (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))
215214dvdsppwf1o 24629 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)):(0...𝐴)–1-1-onto→{𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)})
21615, 31, 215syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)):(0...𝐴)–1-1-onto→{𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)})
217 oveq2 6535 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑖 → (𝑃𝑏) = (𝑃𝑖))
218 ovex 6555 . . . . . 6 (𝑃𝑏) ∈ V
219217, 214, 218fvmpt3i 6181 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
220219adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
2216adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
222 elrabi 3327 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} → 𝑘 ∈ ℕ)
223222nnzd 11313 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} → 𝑘 ∈ ℤ)
224 ffvelrn 6250 . . . . . . 7 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐿𝑘) ∈ (Base‘𝑍))
22514, 223, 224syl2an 492 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝐿𝑘) ∈ (Base‘𝑍))
226221, 225ffvelrnd 6253 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℝ)
227226recnd 9924 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℂ)
228213, 5, 216, 220, 227fsumf1o 14247 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))))
229 zsubrg 19564 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
230 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
231230subrgsubm 18562 . . . . . . . . . . 11 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
232229, 231mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
23320adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
23417adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑃 ∈ ℤ)
235 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
236 zringmpg 19604 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
237236eqcomi 2618 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℤring) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
238 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℤring)) = (.g‘(mulGrp‘ℤring))
239235, 237, 238submmulg 17355 . . . . . . . . . 10 ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℤ) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃))
240232, 233, 234, 239syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃))
24182nncnd 10883 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
242 cnfldexp 19544 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑃𝑖))
243241, 20, 242syl2an 492 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑃𝑖))
244240, 243eqtr3d 2645 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃) = (𝑃𝑖))
245244fveq2d 6092 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝐿‘(𝑃𝑖)))
2469zncrng 19657 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
247 crngring 18327 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
2488, 246, 2473syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
24911zrhrhm 19624 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
250 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℤring) = (mulGrp‘ℤring)
251 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
252250, 251rhmmhm 18491 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → 𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
253248, 249, 2523syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
254253adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
255 zringbas 19589 . . . . . . . . . 10 ℤ = (Base‘ℤring)
256250, 255mgpbas 18264 . . . . . . . . 9 ℤ = (Base‘(mulGrp‘ℤring))
257 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (.g‘(mulGrp‘𝑍)) = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
258256, 238, 257mhmmulg 17352 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
259254, 233, 234, 258syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
260245, 259eqtr3d 2645 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑃𝑖)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
261260fveq2d 6092 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))))
262126, 9, 127dchrmhm 24683 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
263262, 128sseldi 3565 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
264263adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
26518adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍))
266251, 10mgpbas 18264 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
267266, 257, 235mhmmulg 17352 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))))
268264, 233, 265, 267syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))))
269 cnfldexp 19544 . . . . . 6 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
270120, 20, 269syl2an 492 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
271261, 268, 2703eqtrd 2647 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
272271sumeq2dv 14227 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
273211, 228, 2723eqtrd 2647 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
274207, 273breqtrrd 4605 1 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  {crab 2899  c0 3873  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  wf 5786  ontowfo 5788  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  cq 11620  ...cfz 12152  ..^cfzo 12289  cexp 12677  #chash 12934  csqrt 13767  abscabs 13768  Σcsu 14210  cdvds 14767  cprime 15169   pCnt cpc 15325  Basecbs 15641  s cress 15642  0gc0g 15869   MndHom cmhm 17102  SubMndcsubmnd 17103  .gcmg 17309  mulGrpcmgp 18258  Ringcrg 18316  CRingccrg 18317  Unitcui 18408   RingHom crh 18481  SubRingcsubrg 18545  fldccnfld 19513  ringzring 19583  ℤRHomczrh 19612  ℤ/nczn 19615  DChrcdchr 24674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ec 7608  df-qs 7612  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-prm 15170  df-pc 15326  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-qus 15938  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-nsg 17361  df-eqg 17362  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-od 17717  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-rnghom 18484  df-drng 18518  df-subrg 18547  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-lidl 18941  df-rsp 18942  df-2idl 18999  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-zring 19584  df-zrh 19616  df-zn 19619  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025  df-dchr 24675
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  24915  dchrisum0flb  24916
  Copyright terms: Public domain W3C validator