MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumdchr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdchr2 24895
Description: Lemma for sumdchr 24897. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sumdchr.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
sumdchr2.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
sumdchr2.1 1 = (1r𝑍)
sumdchr2.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
sumdchr2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
sumdchr2.x (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumdchr2 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (#‘𝐷), 0))
Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem sumdchr2
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2632 . 2 ((#‘𝐷) = if(𝐴 = 1 , (#‘𝐷), 0) → (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = (#‘𝐷) ↔ Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (#‘𝐷), 0)))
2 eqeq2 2632 . 2 (0 = if(𝐴 = 1 , (#‘𝐷), 0) → (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0 ↔ Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (#‘𝐷), 0)))
3 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → (𝑥𝐴) = (𝑥1 ))
4 sumdchr.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 sumdchr2.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 sumdchr.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
74, 5, 6dchrmhm 24866 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
8 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
97, 8sseldi 3581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
10 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
11 sumdchr2.1 . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑍)
1210, 11ringidval 18424 . . . . . . . 8 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
13 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
14 cnfld1 19690 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℂfld)
1513, 14ringidval 18424 . . . . . . . 8 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
1612, 15mhm0 17264 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑥1 ) = 1)
179, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥1 ) = 1)
183, 17sylan9eqr 2677 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴 = 1 ) → (𝑥𝐴) = 1)
1918an32s 845 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 1 ) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝐴) = 1)
2019sumeq2dv 14367 . . 3 ((𝜑𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = Σ𝑥𝐷 1)
21 sumdchr2.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
224, 6dchrfi 24880 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
24 ax-1cn 9938 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
25 fsumconst 14450 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑥𝐷 1 = ((#‘𝐷) · 1))
2623, 24, 25sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 1 = ((#‘𝐷) · 1))
27 hashcl 13087 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℕ0)
2821, 22, 273syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐷) ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 11297 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐷) ∈ ℂ)
3029mulid1d 10001 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝐷) · 1) = (#‘𝐷))
3126, 30eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 1 = (#‘𝐷))
3231adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 1 = (#‘𝐷))
3320, 32eqtrd 2655 . 2 ((𝜑𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = (#‘𝐷))
34 df-ne 2791 . . 3 (𝐴1 ↔ ¬ 𝐴 = 1 )
35 sumdchr2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑍)
3621adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴1 ) → 𝑁 ∈ ℕ)
37 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐴1 ) → 𝐴1 )
38 sumdchr2.x . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
3938adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴1 ) → 𝐴𝐵)
404, 5, 6, 35, 11, 36, 37, 39dchrpt 24892 . . . 4 ((𝜑𝐴1 ) → ∃𝑦𝐷 (𝑦𝐴) ≠ 1)
4136adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4241, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝐷 ∈ Fin)
43 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
444, 5, 6, 35, 43dchrf 24867 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥:𝐵⟶ℂ)
4539adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝐴𝐵)
4645adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐴𝐵)
4744, 46ffvelrnd 6316 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝐴) ∈ ℂ)
4842, 47fsumcl 14397 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ∈ ℂ)
49 0cnd 9977 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 0 ∈ ℂ)
50 simprl 793 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝑦𝐷)
514, 5, 6, 35, 50dchrf 24867 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝑦:𝐵⟶ℂ)
5251, 45ffvelrnd 6316 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (𝑦𝐴) ∈ ℂ)
53 subcl 10224 . . . . . 6 (((𝑦𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦𝐴) − 1) ∈ ℂ)
5452, 24, 53sylancl 693 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) − 1) ∈ ℂ)
55 simprr 795 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (𝑦𝐴) ≠ 1)
56 subeq0 10251 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑦𝐴) − 1) = 0 ↔ (𝑦𝐴) = 1))
5752, 24, 56sylancl 693 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) = 0 ↔ (𝑦𝐴) = 1))
5857necon3bid 2834 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) ≠ 0 ↔ (𝑦𝐴) ≠ 1))
5955, 58mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) − 1) ≠ 0)
60 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
6160fveq1d 6150 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴) = ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴))
6261cbvsumv 14360 . . . . . . . . . 10 Σ𝑧𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴)
63 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6450adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑦𝐷)
654, 5, 6, 63, 64, 43dchrmul 24873 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦𝑓 · 𝑥))
6665fveq1d 6150 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴) = ((𝑦𝑓 · 𝑥)‘𝐴))
6751adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑦:𝐵⟶ℂ)
68 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦:𝐵⟶ℂ → 𝑦 Fn 𝐵)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑦 Fn 𝐵)
70 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥:𝐵⟶ℂ → 𝑥 Fn 𝐵)
7144, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 Fn 𝐵)
72 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑍) ∈ V
7335, 72eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐵 ∈ V)
75 fnfvof 6864 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 Fn 𝐵𝑥 Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵)) → ((𝑦𝑓 · 𝑥)‘𝐴) = ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7669, 71, 74, 46, 75syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑦𝑓 · 𝑥)‘𝐴) = ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7766, 76eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴) = ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7877sumeq2dv 14367 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7962, 78syl5eq 2667 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑧𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
80 fveq1 6147 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝐴) = ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴))
814dchrabl 24879 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
82 ablgrp 18119 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8341, 81, 823syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝐺 ∈ Grp)
84 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏))) = (𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))
8584, 6, 63grplactf1o 17440 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦):𝐷1-1-onto𝐷)
8683, 50, 85syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦):𝐷1-1-onto𝐷)
8784, 6grplactval 17438 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐷𝑧𝐷) → (((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦)‘𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑧))
8850, 87sylan 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑧𝐷) → (((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦)‘𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑧))
8980, 42, 86, 88, 47fsumf1o 14387 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = Σ𝑧𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴))
9042, 52, 47fsummulc2 14444 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
9179, 89, 903eqtr4rd 2666 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))
9248mulid2d 10002 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))
9391, 92oveq12d 6622 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) − (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))) = (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) − Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)))
9448subidd 10324 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) − Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = 0)
9593, 94eqtrd 2655 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) − (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))) = 0)
9624a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 1 ∈ ℂ)
9752, 96, 48subdird 10431 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = (((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) − (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))))
9854mul01d 10179 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) · 0) = 0)
9995, 97, 983eqtr4d 2665 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = (((𝑦𝐴) − 1) · 0))
10048, 49, 54, 59, 99mulcanad 10606 . . . 4 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0)
10140, 100rexlimddv 3028 . . 3 ((𝜑𝐴1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0)
10234, 101sylan2br 493 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0)
1031, 2, 33, 102ifbothda 4095 1 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (#‘𝐷), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  ifcif 4058  cmpt 4673   Fn wfn 5842  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  Fincfn 7899  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  cmin 10210  cn 10964  0cn0 11236  #chash 13057  Σcsu 14350  Basecbs 15781  +gcplusg 15862   MndHom cmhm 17254  Grpcgrp 17343  Abelcabl 18115  mulGrpcmgp 18410  1rcur 18422  fldccnfld 19665  ℤ/nczn 19770  DChrcdchr 24857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-rpss 6890  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-phi 15395  df-pc 15466  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-qus 16090  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-nsg 17513  df-eqg 17514  df-ghm 17579  df-gim 17622  df-ga 17644  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-od 17869  df-gex 17870  df-pgp 17871  df-lsm 17972  df-pj1 17973  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-cyg 18201  df-dprd 18315  df-dpj 18316  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-rnghom 18636  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-lidl 19093  df-rsp 19094  df-2idl 19151  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-zring 19738  df-zrh 19771  df-zn 19774  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-0p 23343  df-limc 23536  df-dv 23537  df-ply 23848  df-idp 23849  df-coe 23850  df-dgr 23851  df-quot 23950  df-log 24207  df-cxp 24208  df-dchr 24858
This theorem is referenced by:  dchrhash  24896  sumdchr  24897
  Copyright terms: Public domain W3C validator