MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumdchr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdchr2 25186
Description: Lemma for sumdchr 25188. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sumdchr.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
sumdchr2.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
sumdchr2.1 1 = (1r𝑍)
sumdchr2.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
sumdchr2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
sumdchr2.x (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumdchr2 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0))
Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem sumdchr2
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2763 . 2 ((♯‘𝐷) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0) → (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = (♯‘𝐷) ↔ Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0)))
2 eqeq2 2763 . 2 (0 = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0) → (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0 ↔ Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0)))
3 fveq2 6344 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → (𝑥𝐴) = (𝑥1 ))
4 sumdchr.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 sumdchr2.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 sumdchr.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
74, 5, 6dchrmhm 25157 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
8 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
97, 8sseldi 3734 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
10 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
11 sumdchr2.1 . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑍)
1210, 11ringidval 18695 . . . . . . . 8 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
13 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
14 cnfld1 19965 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℂfld)
1513, 14ringidval 18695 . . . . . . . 8 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
1612, 15mhm0 17536 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑥1 ) = 1)
179, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥1 ) = 1)
183, 17sylan9eqr 2808 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴 = 1 ) → (𝑥𝐴) = 1)
1918an32s 881 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 1 ) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝐴) = 1)
2019sumeq2dv 14624 . . 3 ((𝜑𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = Σ𝑥𝐷 1)
21 sumdchr2.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
224, 6dchrfi 25171 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
24 ax-1cn 10178 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
25 fsumconst 14713 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑥𝐷 1 = ((♯‘𝐷) · 1))
2623, 24, 25sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 1 = ((♯‘𝐷) · 1))
27 hashcl 13331 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
2821, 22, 273syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 11537 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐷) ∈ ℂ)
3029mulid1d 10241 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐷) · 1) = (♯‘𝐷))
3126, 30eqtrd 2786 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 1 = (♯‘𝐷))
3231adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 1 = (♯‘𝐷))
3320, 32eqtrd 2786 . 2 ((𝜑𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = (♯‘𝐷))
34 df-ne 2925 . . 3 (𝐴1 ↔ ¬ 𝐴 = 1 )
35 sumdchr2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑍)
3621adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐴1 ) → 𝑁 ∈ ℕ)
37 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐴1 ) → 𝐴1 )
38 sumdchr2.x . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
3938adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐴1 ) → 𝐴𝐵)
404, 5, 6, 35, 11, 36, 37, 39dchrpt 25183 . . . 4 ((𝜑𝐴1 ) → ∃𝑦𝐷 (𝑦𝐴) ≠ 1)
4136adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4241, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝐷 ∈ Fin)
43 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
444, 5, 6, 35, 43dchrf 25158 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥:𝐵⟶ℂ)
4539adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝐴𝐵)
4645adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐴𝐵)
4744, 46ffvelrnd 6515 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝐴) ∈ ℂ)
4842, 47fsumcl 14655 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ∈ ℂ)
49 0cnd 10217 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 0 ∈ ℂ)
50 simprl 811 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝑦𝐷)
514, 5, 6, 35, 50dchrf 25158 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝑦:𝐵⟶ℂ)
5251, 45ffvelrnd 6515 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (𝑦𝐴) ∈ ℂ)
53 subcl 10464 . . . . . 6 (((𝑦𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦𝐴) − 1) ∈ ℂ)
5452, 24, 53sylancl 697 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) − 1) ∈ ℂ)
55 simprr 813 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (𝑦𝐴) ≠ 1)
56 subeq0 10491 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑦𝐴) − 1) = 0 ↔ (𝑦𝐴) = 1))
5752, 24, 56sylancl 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) = 0 ↔ (𝑦𝐴) = 1))
5857necon3bid 2968 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) ≠ 0 ↔ (𝑦𝐴) ≠ 1))
5955, 58mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) − 1) ≠ 0)
60 oveq2 6813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
6160fveq1d 6346 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴) = ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴))
6261cbvsumv 14617 . . . . . . . . . 10 Σ𝑧𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴)
63 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6450adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑦𝐷)
654, 5, 6, 63, 64, 43dchrmul 25164 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦𝑓 · 𝑥))
6665fveq1d 6346 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴) = ((𝑦𝑓 · 𝑥)‘𝐴))
6751adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑦:𝐵⟶ℂ)
68 ffn 6198 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦:𝐵⟶ℂ → 𝑦 Fn 𝐵)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑦 Fn 𝐵)
70 ffn 6198 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥:𝐵⟶ℂ → 𝑥 Fn 𝐵)
7144, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 Fn 𝐵)
72 fvex 6354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑍) ∈ V
7335, 72eqeltri 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐵 ∈ V)
75 fnfvof 7068 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 Fn 𝐵𝑥 Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵)) → ((𝑦𝑓 · 𝑥)‘𝐴) = ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7669, 71, 74, 46, 75syl22anc 1474 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑦𝑓 · 𝑥)‘𝐴) = ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7766, 76eqtrd 2786 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴) = ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7877sumeq2dv 14624 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7962, 78syl5eq 2798 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑧𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
80 fveq1 6343 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝐴) = ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴))
814dchrabl 25170 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
82 ablgrp 18390 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8341, 81, 823syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝐺 ∈ Grp)
84 eqid 2752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏))) = (𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))
8584, 6, 63grplactf1o 17712 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦):𝐷1-1-onto𝐷)
8683, 50, 85syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦):𝐷1-1-onto𝐷)
8784, 6grplactval 17710 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐷𝑧𝐷) → (((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦)‘𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑧))
8850, 87sylan 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑧𝐷) → (((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦)‘𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑧))
8980, 42, 86, 88, 47fsumf1o 14645 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = Σ𝑧𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴))
9042, 52, 47fsummulc2 14707 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
9179, 89, 903eqtr4rd 2797 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))
9248mulid2d 10242 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))
9391, 92oveq12d 6823 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) − (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))) = (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) − Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)))
9448subidd 10564 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) − Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = 0)
9593, 94eqtrd 2786 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) − (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))) = 0)
9624a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 1 ∈ ℂ)
9752, 96, 48subdird 10671 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = (((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) − (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))))
9854mul01d 10419 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) · 0) = 0)
9995, 97, 983eqtr4d 2796 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = (((𝑦𝐴) − 1) · 0))
10048, 49, 54, 59, 99mulcanad 10846 . . . 4 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0)
10140, 100rexlimddv 3165 . . 3 ((𝜑𝐴1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0)
10234, 101sylan2br 494 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0)
1031, 2, 33, 102ifbothda 4259 1 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  Vcvv 3332  ifcif 4222  cmpt 4873   Fn wfn 6036  wf 6037  1-1-ontowf1o 6040  cfv 6041  (class class class)co 6805  𝑓 cof 7052  Fincfn 8113  cc 10118  0cc0 10120  1c1 10121   · cmul 10125  cmin 10450  cn 11204  0cn0 11476  chash 13303  Σcsu 14607  Basecbs 16051  +gcplusg 16135   MndHom cmhm 17526  Grpcgrp 17615  Abelcabl 18386  mulGrpcmgp 18681  1rcur 18693  fldccnfld 19940  ℤ/nczn 20045  DChrcdchr 25148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-disj 4765  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-rpss 7094  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-omul 7726  df-er 7903  df-ec 7905  df-qs 7909  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-acn 8950  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-word 13477  df-concat 13479  df-s1 13480  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-pi 14994  df-dvds 15175  df-gcd 15411  df-prm 15580  df-phi 15665  df-pc 15736  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-qus 16363  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-mhm 17528  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-mulg 17734  df-subg 17784  df-nsg 17785  df-eqg 17786  df-ghm 17851  df-gim 17894  df-ga 17915  df-cntz 17942  df-oppg 17968  df-od 18140  df-gex 18141  df-pgp 18142  df-lsm 18243  df-pj1 18244  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-cyg 18472  df-dprd 18586  df-dpj 18587  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-cring 18742  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-rnghom 18909  df-subrg 18972  df-lmod 19059  df-lss 19127  df-lsp 19166  df-sra 19366  df-rgmod 19367  df-lidl 19368  df-rsp 19369  df-2idl 19426  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-zring 20013  df-zrh 20046  df-zn 20049  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-0p 23628  df-limc 23821  df-dv 23822  df-ply 24135  df-idp 24136  df-coe 24137  df-dgr 24138  df-quot 24237  df-log 24494  df-cxp 24495  df-dchr 25149
This theorem is referenced by:  dchrhash  25187  sumdchr  25188
  Copyright terms: Public domain W3C validator