Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihlatat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihlatat 36943
 Description: The reverse isomorphism H of a 1-dim subspace is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihlatat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihlatat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihlatat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihlatat.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihlatat.l 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dihlatat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐿) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dihlatat
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihlatat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dihlatat.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 id 22 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlvec 36715 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
5 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6 eqid 2651 . . . . 5 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
7 eqid 2651 . . . . 5 (0g𝑈) = (0g𝑈)
8 dihlatat.l . . . . 5 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)
95, 6, 7, 8islsat 34596 . . . 4 (𝑈 ∈ LVec → (𝑄𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
104, 9syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑄𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
1110biimpa 500 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐿) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
12 eldifsn 4350 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g𝑈)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑈)))
13 dihlatat.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 dihlatat.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
1513, 1, 2, 5, 7, 6, 14dihlspsnat 36939 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑈)) → (𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
16153expb 1285 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑈))) → (𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
1712, 16sylan2b 491 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g𝑈)})) → (𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
18 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (𝐼𝑄) = (𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
1918eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → ((𝐼𝑄) ∈ 𝐴 ↔ (𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴))
2017, 19syl5ibrcom 237 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g𝑈)})) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐴))
2120rexlimdva 3060 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐴))
2221adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐿) → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐴))
2311, 22mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐿) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942   ∖ cdif 3604  {csn 4210  ◡ccnv 5142  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  0gc0g 16147  LSpanclspn 19019  LVecclvec 19150  LSAtomsclsa 34579  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DVecHcdvh 36684  DIsoHcdih 36834 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lsatoms 34581  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835 This theorem is referenced by:  dihatexv  36944  dihjat4  37039  dvh4dimat  37044
 Copyright terms: Public domain W3C validator