Theorem nnge1 11659

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnge1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5063	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 1))
2		breq2 5063	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝑦))
3		breq2 5063	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑦 + 1)))
4		breq2 5063	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝐴))
5		1le1 11261	. 2 ⊢ 1 ≤ 1
6		nnre 11638	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
7		recn 10620	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	addid1d 10833	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
9	8	breq2d 5071	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ 1 ≤ 𝑦))
10		0lt1 11155	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
11		0re 10636	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1re 10634	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		axltadd 10707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
14	11, 12, 13	mp3an12 1446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
15	10, 14	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1))
16		readdcl 10613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
17	11, 16	mpan2 689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
18		peano2re 10806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19		lttr 10710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
20	12, 19	mp3an3 1445	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
21	17, 18, 20	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
22	15, 21	mpand 693	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 + 1) < 1 → (𝑦 + 0) < 1))
23	22	con3d 155	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (¬ (𝑦 + 0) < 1 → ¬ (𝑦 + 1) < 1))
24		lenlt 10712	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 0) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
25	12, 17, 24	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
26		lenlt 10712	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
27	12, 18, 26	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
28	23, 25, 27	3imtr4d 296	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
29	9, 28	sylbird 262	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
30	6, 29	syl 17	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 30	nnind 11649	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5059  (class class class)co 7149  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   ≤ cle 10669  ℕcn 11631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632

This theorem is referenced by:  nngt1ne1  11660  nnle1eq1  11661  nngt0  11662  nnnlt1  11663  nnrecgt0  11674  nnge1d  11679  elnnnn0c  11936  zle0orge1  11992  elnnz1  12002  zltp1le  12026  nn0ledivnn  12496  fzo1fzo0n0  13085  elfzom1elp1fzo  13101  fzo0sn0fzo1  13123  addmodlteq  13311  nnlesq  13565  digit1  13595  expnngt1  13599  faclbnd  13647  faclbnd3  13649  faclbnd4lem1  13650  faclbnd4lem4  13653  len0nnbi  13898  fstwrdne0  13903  divalglem1  15740  coprmgcdb  15988  isprm3  16022  pockthg  16237  infpn2  16244  setsstruct  16518  chfacfpmmulgsum2  21468  dscmet  23177  ovolunlem1a  24092  vitali  24209  plyeq0lem  24798  logtayllem  25240  leibpi  25518  vmalelog  25779  chtublem  25785  logfaclbnd  25796  bposlem1  25858  gausslemma2dlem1a  25939  dchrisum0lem1  26090  logdivbnd  26130  pntlemn  26174  ostth2lem3  26209  clwwisshclwwslem  27790  clwlknf1oclwwlknlem2  27859  clwlknf1oclwwlknlem3  27860  clwlknf1oclwwlkn  27861  nnmulge  30474  lmatfvlem  31104  eulerpartlems  31639  eulerpartlemb  31647  ballotlem2  31767  reprlt  31911  fz0n  32983  nndivlub  33827  knoppndvlem1  33872  knoppndvlem2  33873  knoppndvlem7  33878  knoppndvlem11  33882  knoppndvlem14  33885  fzsplit1nn0  39427  pell1qrgaplem  39546  pellqrex  39552  monotoddzzfi  39615  jm2.23  39669  sumnnodd  41985  dvnmul  42302  wallispilem4  42427  wallispilem5  42428  wallispi  42429  wallispi2lem1  42430  stirlinglem5  42437  stirlinglem13  42445  dirkertrigeqlem1  42457  fouriersw  42590  etransclem24  42617  iccpartigtl  43657  fmtnodvds  43780  lighneallem2  43845  logbpw2m1  44701  blennnelnn  44710  blenpw2m1  44713  dignnld  44737