MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnge1 10896
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnge1 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4582 . 2 (𝑥 = 1 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 1))
2 breq2 4582 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝑦))
3 breq2 4582 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑦 + 1)))
4 breq2 4582 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝐴))
5 1le1 10507 . 2 1 ≤ 1
6 nnre 10877 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
7 recn 9883 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
87addid1d 10088 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
98breq2d 4590 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ 1 ≤ 𝑦))
10 0lt1 10402 . . . . . . . 8 0 < 1
11 0re 9897 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
12 1re 9896 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
13 axltadd 9963 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
1411, 12, 13mp3an12 1406 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
1510, 14mpi 20 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1))
16 readdcl 9876 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
1711, 16mpan2 703 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
18 peano2re 10061 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19 lttr 9966 . . . . . . . . 9 (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
2012, 19mp3an3 1405 . . . . . . . 8 (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
2117, 18, 20syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
2215, 21mpand 707 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 + 1) < 1 → (𝑦 + 0) < 1))
2322con3d 147 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (¬ (𝑦 + 0) < 1 → ¬ (𝑦 + 1) < 1))
24 lenlt 9968 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 0) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
2512, 17, 24sylancr 694 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
26 lenlt 9968 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
2712, 18, 26sylancr 694 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
2823, 25, 273imtr4d 282 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
299, 28sylbird 249 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
306, 29syl 17 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
311, 2, 3, 4, 5, 30nnind 10888 1 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  wcel 1977   class class class wbr 4578  (class class class)co 6527  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796   < clt 9931  cle 9932  cn 10870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871
This theorem is referenced by:  nngt1ne1  10897  nnle1eq1  10898  nngt0  10899  nnnlt1  10900  nnrecgt0  10908  nnge1d  10913  elnnnn0c  11188  elnnz1  11239  zltp1le  11263  nn0ledivnn  11776  elfz1b  12237  fzo1fzo0n0  12344  elfzom1elp1fzo  12360  fzo0sn0fzo1  12382  addmodlteq  12565  nnlesq  12788  digit1  12818  faclbnd  12897  faclbnd3  12899  faclbnd4lem1  12900  faclbnd4lem4  12903  fstwrdne0  13149  swrdtrcfv  13242  swrdccatwrd  13269  divalglem1  14904  coprmgcdb  15149  isprm3  15183  pockthg  15397  infpn2  15404  chfacfpmmulgsum2  20437  dscmet  22135  ovolunlem1a  23016  vitali  23133  plyeq0lem  23715  logtayllem  24150  leibpi  24414  vmalelog  24675  chtublem  24681  logfaclbnd  24692  bposlem1  24754  gausslemma2dlem1a  24835  dchrisum0lem1  24950  logdivbnd  24990  pntlemn  25034  ostth2lem3  25069  clwwisshclwwlem  26128  clwlkfclwwlk  26165  lmatfvlem  29003  eulerpartlems  29543  eulerpartlemb  29551  ballotlem2  29671  fz0n  30663  nndivlub  31421  knoppndvlem1  31467  knoppndvlem2  31468  knoppndvlem7  31473  knoppndvlem11  31477  knoppndvlem14  31480  fzsplit1nn0  36129  pell1qrgaplem  36249  pellqrex  36255  monotoddzzfi  36319  jm2.23  36375  sumnnodd  38491  dvnmul  38627  wallispilem4  38755  wallispilem5  38756  wallispi  38757  wallispi2lem1  38758  stirlinglem5  38765  stirlinglem13  38773  dirkertrigeqlem1  38785  fouriersw  38918  etransclem24  38945  iccpartigtl  39756  fmtnodvds  39789  lighneallem2  39856  clwwisshclwwslem  41226  clwlksfclwwlk  41261  logbpw2m1  42151  blennnelnn  42160  blenpw2m1  42163  dignnld  42187
  Copyright terms: Public domain W3C validator