MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmatsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmatsgrp 20219
Description: The set of diagonal matrices is a subgroup of the matrix group/algebra. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0 0 = (0g𝑅)
dmatid.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dmatsgrp ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))

Proof of Theorem dmatsgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 dmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 dmatid.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
4 dmatid.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
51, 2, 3, 4dmatmat 20214 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧𝐷𝑧𝐵))
65ancoms 469 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑧𝐷𝑧𝐵))
76ssrdv 3594 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷𝐵)
81, 2, 3, 4dmatid 20215 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐷)
98ancoms 469 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (1r𝐴) ∈ 𝐷)
10 ne0i 3902 . . 3 ((1r𝐴) ∈ 𝐷𝐷 ≠ ∅)
119, 10syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ≠ ∅)
121, 2, 3, 4dmatsubcl 20218 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
1312ancom1s 846 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
1413ralrimivva 2970 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
151matring 20163 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
1615ancoms 469 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Ring)
17 ringgrp 18468 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
18 eqid 2626 . . . 4 (-g𝐴) = (-g𝐴)
192, 18issubg4 17529 . . 3 (𝐴 ∈ Grp → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ↔ (𝐷𝐵𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)))
2016, 17, 193syl 18 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ↔ (𝐷𝐵𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)))
217, 11, 14, 20mpbir3and 1243 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wss 3560  c0 3896  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  Basecbs 15776  0gc0g 16016  Grpcgrp 17338  -gcsg 17340  SubGrpcsubg 17504  1rcur 18417  Ringcrg 18463   Mat cmat 20127   DMat cdmat 20208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-hom 15882  df-cco 15883  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-prds 16024  df-pws 16026  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-subrg 18694  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-dsmm 19990  df-frlm 20005  df-mamu 20104  df-mat 20128  df-dmat 20210
This theorem is referenced by:  dmatsrng  20221  scmatsgrp1  20242
  Copyright terms: Public domain W3C validator