MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubg4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubg4 17537
Description: A subgroup is a nonempty subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg4.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubg4.p = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
issubg4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem issubg4
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg4.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgss 17519 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
3 eqid 2621 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
43subg0cl 17526 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
5 ne0i 3899 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝑆𝑆 ≠ ∅)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ≠ ∅)
7 issubg4.p . . . . . 6 = (-g𝐺)
87subgsubcl 17529 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
983expb 1263 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
109ralrimivva 2965 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
112, 6, 103jca 1240 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆))
12 simplrl 799 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆𝐵)
13 simplrr 800 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
14 simprr 795 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
15 r19.2z 4034 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
1614, 15sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
17 oveq2 6615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 𝑦) = (𝑥 𝑥))
1817eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 𝑥) ∈ 𝑆))
1918rspcv 3291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑆 → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 𝑥) ∈ 𝑆))
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 𝑥) ∈ 𝑆))
21 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆𝐵)
2221sselda 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
231, 3, 7grpsubid 17423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 𝑥) = (0g𝐺))
2423adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 𝑥) = (0g𝐺))
2522, 24syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑥) = (0g𝐺))
2625eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (0g𝐺) ∈ 𝑆))
2720, 26sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
2827rexlimdva 3024 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → (∃𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
2928imp 445 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
3016, 29syldan 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
31 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
32 oveq1 6614 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑥 𝑦) = ((0g𝐺) 𝑦))
3332eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (0g𝐺) → ((𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆))
3433ralbidv 2980 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (0g𝐺) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑆 ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆))
3534rspcv 3291 . . . . . . . . . . 11 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑦𝑆 ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆))
3630, 31, 35sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆 ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆)
371, 3grpidcl 17374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
3837ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
3921sselda 3584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
40 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g𝐺) = (+g𝐺)
41 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invg𝐺) = (invg𝐺)
421, 40, 41, 7grpsubval 17389 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0g𝐺) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → ((0g𝐺) 𝑦) = ((0g𝐺)(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)))
4338, 39, 42syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ((0g𝐺) 𝑦) = ((0g𝐺)(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)))
44 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
451, 41grpinvcl 17391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
4644, 39, 45syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
471, 40, 3grplid 17376 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺)(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)) = ((invg𝐺)‘𝑦))
4844, 46, 47syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ((0g𝐺)(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)) = ((invg𝐺)‘𝑦))
4943, 48eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ((0g𝐺) 𝑦) = ((invg𝐺)‘𝑦))
5049eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
5150ralbidva 2979 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑦𝑆 ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
5251adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦𝑆 ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
5336, 52mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)
54 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑧 → ((invg𝐺)‘𝑦) = ((invg𝐺)‘𝑧))
5554eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑧 → (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆))
5655rspccva 3294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
5756ad2ant2l 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
58 oveq2 6615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ((invg𝐺)‘𝑧) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)))
5958eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ((invg𝐺)‘𝑧) → ((𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
6059rspcv 3291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆 → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
62 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝐺 ∈ Grp)
63 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆𝐵)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑆𝐵)
65 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑥𝑆)
6664, 65sseldd 3585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑥𝐵)
67 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧𝑆)
6864, 67sseldd 3585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧𝐵)
691, 40, 7, 41, 62, 66, 68grpsubinv 17412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) = (𝑥(+g𝐺)𝑧))
7069eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7161, 70sylibd 229 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7271anassrs 679 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7372ralrimdva 2963 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7473ralimdva 2956 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥𝑆𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7574impancom 456 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥𝑆𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7653, 75mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
77 oveq1 6614 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(+g𝐺)𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑧))
7877eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7978ralbidv 2980 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
8079cbvralv 3159 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑆𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
8176, 80sylib 208 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
82 r19.26 3057 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
8381, 53, 82sylanbrc 697 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
8412, 13, 833jca 1240 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)))
8584exp42 638 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆𝐵 → (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))))
86853impd 1278 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
871, 40, 41issubg2 17533 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
8886, 87sylibrd 249 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
8911, 88impbid2 216 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  wss 3556  c0 3893  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  +gcplusg 15865  0gc0g 16024  Grpcgrp 17346  invgcminusg 17347  -gcsg 17348  SubGrpcsubg 17512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515
This theorem is referenced by:  dprdsubg  18347  dmatsgrp  20227  scmatsgrp  20247  scmatsgrp1  20250  clssubg  21825  tgpconncomp  21829
  Copyright terms: Public domain W3C validator