Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochexmidat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochexmidat 36567
 Description: Special case of excluded middle for the singleton of a vector. (Contributed by NM, 27-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochexmidat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochexmidat.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidat.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochexmidat.z 0 = (0g𝑈)
dochexmidat.r 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dochexmidat.p = (LSSum‘𝑈)
dochexmidat.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochexmidat.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
dochexmidat (𝜑 → (( ‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem dochexmidat
StepHypRef Expression
1 dochexmidat.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dochexmidat.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 dochexmidat.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 dochexmidat.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 dochexmidat.z . . 3 0 = (0g𝑈)
6 dochexmidat.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 dochexmidat.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dochnel 36501 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝑋}))
9 dochexmidat.r . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10 dochexmidat.p . . 3 = (LSSum‘𝑈)
11 eqid 2620 . . 3 (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
121, 3, 6dvhlvec 36217 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
131, 2, 3, 4, 5, 11, 6, 7dochsnshp 36561 . . 3 (𝜑 → ( ‘{𝑋}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
147eldifad 3579 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
154, 9, 10, 11, 12, 13, 14lshpnelb 34090 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝑋}) ↔ (( ‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
168, 15mpbid 222 1 (𝜑 → (( ‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ∖ cdif 3564  {csn 4168  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  0gc0g 16081  LSSumclsm 18030  LSpanclspn 18952  LSHypclsh 34081  HLchlt 34456  LHypclh 35089  DVecHcdvh 36186  ocHcoch 36455 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-riotaBAD 34058 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-undef 7384  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-0g 16083  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-p1 17021  df-lat 17027  df-clat 17089  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-lsm 18032  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-dvr 18664  df-drng 18730  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-lvec 19084  df-lsatoms 34082  df-lshyp 34083  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457  df-llines 34603  df-lplanes 34604  df-lvols 34605  df-lines 34606  df-psubsp 34608  df-pmap 34609  df-padd 34901  df-lhyp 35093  df-laut 35094  df-ldil 35209  df-ltrn 35210  df-trl 35265  df-tgrp 35850  df-tendo 35862  df-edring 35864  df-dveca 36110  df-disoa 36137  df-dvech 36187  df-dib 36247  df-dic 36281  df-dih 36337  df-doch 36456  df-djh 36503 This theorem is referenced by:  dochsnkr2  36581  dochflcl  36583  dochfl1  36584
 Copyright terms: Public domain W3C validator