MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcan1 18460
Description: A cancellation law for division. (divcan1 10543 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrass.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrass.o 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrass.d / = (/r𝑅)
dvrass.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcan1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem dvrcan1
StepHypRef Expression
1 dvrass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvrass.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
3 dvrass.o . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4 eqid 2609 . . . . 5 (invr𝑅) = (invr𝑅)
5 dvrass.d . . . . 5 / = (/r𝑅)
61, 2, 3, 4, 5dvrval 18454 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
763adant1 1071 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
87oveq1d 6542 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌))
9 simp1 1053 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
10 simp2 1054 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑋𝐵)
113, 4, 1ringinvcl 18445 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
12113adant2 1072 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
131, 3unitcl 18428 . . . . 5 (𝑌𝑈𝑌𝐵)
14133ad2ant3 1076 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑌𝐵)
151, 2ringass 18333 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)))
169, 10, 12, 14, 15syl13anc 1319 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)))
17 eqid 2609 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
183, 4, 2, 17unitlinv 18446 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌) = (1r𝑅))
19183adant2 1072 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌) = (1r𝑅))
2019oveq2d 6543 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)) = (𝑋 · (1r𝑅)))
211, 2, 17ringridm 18341 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)
22213adant3 1073 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)
2320, 22eqtrd 2643 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)) = 𝑋)
2416, 23eqtrd 2643 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = 𝑋)
258, 24eqtrd 2643 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  .rcmulr 15715  1rcur 18270  Ringcrg 18316  Unitcui 18408  invrcinvr 18440  /rcdvr 18451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452
This theorem is referenced by:  dvreq1  18462  irredrmul  18476  isdrng2  18526  cnflddiv  19541  isarchiofld  28954
  Copyright terms: Public domain W3C validator