MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfilspd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfilspd 20364
Description: Simplified version of ellspd 20363 when the spanning set is finite: all linear combinations are then acceptable. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspd.n 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspd.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspd.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspd.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspd.z 0 = (0g𝑆)
ellspd.t · = ( ·𝑠𝑀)
elfilspd.f (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
elfilspd.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
elfilspd.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
elfilspd (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝑁   𝑓,𝐾   𝑆,𝑓   0 ,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Proof of Theorem elfilspd
StepHypRef Expression
1 ellspd.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
2 ellspd.v . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
3 ellspd.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
4 ellspd.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5 ellspd.z . . 3 0 = (0g𝑆)
6 ellspd.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑀)
7 elfilspd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
8 elfilspd.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
9 elfilspd.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
10 elex 3352 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ V)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11ellspd 20363 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
13 elmapi 8047 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼𝐾)
1413adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)) → 𝑓:𝐼𝐾)
159adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
16 fvex 6363 . . . . . . 7 (0g𝑆) ∈ V
175, 16eqeltri 2835 . . . . . 6 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)) → 0 ∈ V)
1914, 15, 18fdmfifsupp 8452 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)) → 𝑓 finSupp 0 )
2019biantrurd 530 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)) → (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ (𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
2120rexbidva 3187 . 2 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
2212, 21bitr4d 271 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  Vcvv 3340   class class class wbr 4804  cima 5269  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑓 cof 7061  𝑚 cmap 8025  Fincfn 8123   finSupp cfsupp 8442  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  0gc0g 16322   Σg cgsu 16323  LModclmod 19085  LSpanclspn 19193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-prds 16330  df-pws 16332  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lmhm 19244  df-lbs 19297  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-nzr 19480  df-dsmm 20298  df-frlm 20313  df-uvc 20344
This theorem is referenced by:  matunitlindflem2  33737
  Copyright terms: Public domain W3C validator