Theorem elfilspd 19903

Description: Simplified version of ellspd 19902 when the spanning set is finite: all linear combinations are then acceptable. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspd.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspd.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspd.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspd.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
ellspd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
elfilspd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
elfilspd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
elfilspd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
elfilspd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘𝑓 · 𝐹))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝑁   𝑓,𝐾   𝑆,𝑓   0 ,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Proof of Theorem elfilspd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspd.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
2		ellspd.v	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		ellspd.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		ellspd.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5		ellspd.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		ellspd.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
7		elfilspd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
8		elfilspd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
9		elfilspd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
10		elex 3184	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ V)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	ellspd 19902	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘𝑓 · 𝐹)))))
13		elmapi 7742	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶𝐾)
14	13	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶𝐾)
15	9	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
16		fvex 6098	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) ∈ V
17	5, 16	eqeltri 2683	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐼)) → 0 ∈ V)
19	14, 15, 18	fdmfifsupp 8145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑓 finSupp 0 )
20	19	biantrurd 527	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐼)) → (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘𝑓 · 𝐹)) ↔ (𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘𝑓 · 𝐹)))))
21	20	rexbidva 3030	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘𝑓 · 𝐹)))))
22	12, 21	bitr4d 269	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘𝑓 · 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ∃wrex 2896  Vcvv 3172   class class class wbr 4577   “ cima 5031  ⟶wf 5786  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527   ∘_𝑓 cof 6770   ↑_𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818   finSupp cfsupp 8135  Basecbs 15641  Scalarcsca 15717   ·_𝑠 cvsca 15718  0_gc0g 15869   Σ_g cgsu 15870  LModclmod 18632  LSpanclspn 18738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-hom 15739  df-cco 15740  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-prds 15877  df-pws 15879  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-subrg 18547  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lmhm 18789  df-lbs 18842  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-nzr 19025  df-dsmm 19837  df-frlm 19852  df-uvc 19883

This theorem is referenced by:  matunitlindflem2  32372