Theorem elfilspd 20949

Description: Simplified version of ellspd 20948 when the spanning set is finite: all linear combinations are then acceptable. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspd.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspd.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspd.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspd.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
ellspd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
elfilspd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
elfilspd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
elfilspd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
elfilspd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝑁   𝑓,𝐾   𝑆,𝑓   0 ,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Proof of Theorem elfilspd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspd.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
2		ellspd.v	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		ellspd.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		ellspd.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5		ellspd.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		ellspd.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
7		elfilspd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
8		elfilspd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
9		elfilspd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
10	9	elexd 3516	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	ellspd 20948	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))
12		elmapi 8430	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶𝐾)
13	12	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶𝐾)
14	9	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
15	5	fvexi 6686	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ V)
17	13, 14, 16	fdmfifsupp 8845	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑓 finSupp 0 )
18	17	biantrurd 535	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ (𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))
19	18	rexbidva 3298	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))
20	11, 19	bitr4d 284	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141  Vcvv 3496   class class class wbr 5068   “ cima 5560  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∘_f cof 7409   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511   finSupp cfsupp 8835  Basecbs 16485  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  0_gc0g 16715   Σ_g cgsu 16716  LModclmod 19636  LSpanclspn 19745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lmhm 19796  df-lbs 19849  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-nzr 20033  df-dsmm 20878  df-frlm 20893  df-uvc 20929

This theorem is referenced by:  matunitlindflem2  34891