MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elincfzoext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elincfzoext 12565
Description: Membership of an increased integer in a correspondingly extended half-open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
elincfzoext ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Proof of Theorem elincfzoext
StepHypRef Expression
1 elfzole1 12517 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑍)
2 elfzoelz 12509 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℤ)
32zred 11520 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) → 𝑍 ∈ ℝ)
5 nn0addge1 11377 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
64, 5sylan 487 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
7 elfzoel1 12507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
87zred 11520 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
103adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℝ)
11 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
1310, 12readdcld 10107 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ)
14 letr 10169 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑍𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
159, 10, 13, 14syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑍𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
1615exp4b 631 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑍 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
1716com23 86 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
1817imp31 447 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
196, 18mpd 15 . . . . 5 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
2019exp31 629 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))))
211, 20mpd 15 . . 3 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
2221imp 444 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
23 elfzoel2 12508 . . . . 5 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2423zred 11520 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
26 elfzolt2 12518 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 < 𝑁)
2726adantr 480 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 < 𝑁)
2810, 25, 12, 27ltadd1dd 10676 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))
292adantr 480 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℤ)
30 nn0z 11438 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
3130adantl 481 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℤ)
3229, 31zaddcld 11524 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ)
337adantr 480 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
3423adantr 480 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
3534, 31zaddcld 11524 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ)
36 elfzo 12511 . . 3 (((𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
3732, 33, 35, 36syl3anc 1366 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
3822, 28, 37mpbir2and 977 1 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  0cn0 11330  cz 11415  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  ccatalpha  13411
  Copyright terms: Public domain W3C validator