MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elincfzoext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elincfzoext 12348
Description: Membership of an increased integer in a correspondingly extended half-open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
elincfzoext ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Proof of Theorem elincfzoext
StepHypRef Expression
1 elfzole1 12302 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑍)
2 elfzoelz 12294 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℤ)
32zred 11314 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℝ)
43adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) → 𝑍 ∈ ℝ)
5 nn0addge1 11186 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
64, 5sylan 486 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
7 elfzoel1 12292 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
87zred 11314 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
98adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
103adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℝ)
11 nn0re 11148 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
1211adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
1310, 12readdcld 9925 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ)
14 letr 9982 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑍𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
159, 10, 13, 14syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑍𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
1615exp4b 629 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑍 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
1716com23 83 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
1817imp31 446 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
196, 18mpd 15 . . . . 5 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
2019exp31 627 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))))
211, 20mpd 15 . . 3 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
2221imp 443 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
23 elfzoel2 12293 . . . . 5 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2423zred 11314 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
2524adantr 479 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
26 elfzolt2 12303 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 < 𝑁)
2726adantr 479 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 < 𝑁)
2810, 25, 12, 27ltadd1dd 10487 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))
292adantr 479 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℤ)
30 nn0z 11233 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
3130adantl 480 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℤ)
3229, 31zaddcld 11318 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ)
337adantr 479 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
3423adantr 479 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
3534, 31zaddcld 11318 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ)
36 elfzo 12296 . . 3 (((𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
3732, 33, 35, 36syl3anc 1317 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
3822, 28, 37mpbir2and 958 1 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9791   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  0cn0 11139  cz 11210  ..^cfzo 12289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290
This theorem is referenced by:  ccatalpha  13174
  Copyright terms: Public domain W3C validator