MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzolt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzolt2 12306
Description: A member in a half-open integer interval is less than the upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzolt2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)

Proof of Theorem elfzolt2
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 12297 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 elfzoel1 12295 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 elfzoel2 12296 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 elfzo 12299 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1318 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
65ibi 255 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁))
76simprd 478 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  wcel 1977   class class class wbr 4578  (class class class)co 6527   < clt 9931  cle 9932  cz 11213  ..^cfzo 12292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293
This theorem is referenced by:  elfzolt3  12307  elfzolt2b  12308  fzonel  12310  elfzouz2  12311  fzonnsub  12320  fzospliti  12327  fzodisj  12329  fzouzdisj  12331  fzodisjsn  12332  elfzo0  12334  elfzo1  12343  fzoaddel  12346  elincfzoext  12351  ssfzo12  12385  elfznelfzob  12398  modaddmodlo  12554  ccatrn  13174  swrds2  13482  fzomaxdiflem  13879  fzo0dvdseq  14832  bitsfzolem  14943  bitsfzo  14944  sadcaddlem  14966  sadaddlem  14975  sadasslem  14979  sadeq  14981  smuval2  14991  smupvallem  14992  smueqlem  14999  crth  15270  eulerthlem2  15274  hashgcdlem  15280  prmgaplem6  15547  znf1o  19667  iundisj  23068  tgcgr4  25172  clwlkisclwwlklem2fv1  26104  iundisjf  28578  iundisjfi  28736  smattl  28986  smattr  28987  smatbl  28988  signsplypnf  29747  poimirlem17  32390  poimirlem20  32393  elfzfzo  38223  elfzop1le2  38237  dvnmul  38627  iblspltprt  38659  itgspltprt  38665  stoweidlem3  38690  fourierdlem12  38806  fourierdlem50  38843  fourierdlem64  38857  fourierdlem79  38872  iccpartgt  39760  clwlkclwwlklem2fv1  41196  m1modmmod  42102
  Copyright terms: Public domain W3C validator