MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzoel2 12293
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoel2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2
StepHypRef Expression
1 ne0i 3879 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2 fzof 12291 . . . . . 6 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
32fdmi 5951 . . . . 5 dom ..^ = (ℤ × ℤ)
43ndmov 6693 . . . 4 (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
54necon1ai 2808 . . 3 ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
61, 5syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
76simprd 477 1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976  wne 2779  c0 3873  𝒫 cpw 4107   × cxp 5026  (class class class)co 6527  cz 11210  ..^cfzo 12289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-neg 10120  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290
This theorem is referenced by:  elfzoelz  12294  elfzo2  12297  elfzole1  12302  elfzolt2  12303  elfzolt3  12304  elfzolt2b  12305  elfzolt3b  12306  fzonel  12307  elfzouz2  12308  fzonnsub  12317  fzoss1  12319  fzospliti  12324  fzodisj  12326  fzoaddel  12343  fzo0addelr  12345  elfzoext  12347  elincfzoext  12348  fzosubel  12349  fzoend  12380  ssfzo12  12382  fzofzp1  12386  elfzo1elm1fzo0  12390  fzonfzoufzol  12392  elfznelfzob  12395  peano2fzor  12396  fzostep1  12401  modsumfzodifsn  12560  addmodlteq  12562  cshwidxm1  13350  cshimadifsn0  13373  fzomaxdiflem  13876  fzo0dvdseq  14829  fzocongeq  14830  addmodlteqALT  14831  efgsp1  17919  efgsres  17920  fzssfzo  29746  signsvfn  29791  elfzop1le2  38246  elfzolem1  38282  dvnmul  38637  iblspltprt  38669  stoweidlem3  38700  fourierdlem12  38816  fourierdlem50  38853  fourierdlem64  38867  fourierdlem79  38882  iccpartiltu  39765  iccpartgt  39770  bgoldbtbndlem2  40027  fzoopth  40187  crctcsh1wlkn0lem2  41016  crctcsh1wlkn0lem3  41017  crctcsh1wlkn0lem5  41019  crctcsh1wlkn0lem6  41020  crctcsh1wlkn0  41026  crctcsh  41029  eucrctshift  41413  eucrct2eupth  41415
  Copyright terms: Public domain W3C validator