Theorem elfzoel2 13038

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4300	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13036	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6524	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7332	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 3043	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 498	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∅c0 4291  𝒫 cpw 4539   × cxp 5553  (class class class)co 7156  ℤcz 11982  ..^cfzo 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-neg 10873  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13039  elfzo2  13042  elfzole1  13047  elfzolt2  13048  elfzolt3  13049  elfzolt2b  13050  elfzolt3b  13051  fzonel  13052  elfzouz2  13053  fzonnsub  13063  fzoss1  13065  fzospliti  13070  fzodisj  13072  fzoaddel  13091  fzo0addelr  13093  elfzoext  13095  elincfzoext  13096  fzosubel  13097  fzoend  13129  ssfzo12  13131  fzofzp1  13135  elfzo1elm1fzo0  13139  fzonfzoufzol  13141  elfznelfzob  13144  peano2fzor  13145  fzostep1  13154  modsumfzodifsn  13313  addmodlteq  13315  cshwidxm1  14169  cshimadifsn0  14192  fzomaxdiflem  14702  fzo0dvdseq  15673  fzocongeq  15674  addmodlteqALT  15675  efgsp1  18863  efgsres  18864  crctcshwlkn0lem2  27589  crctcshwlkn0lem3  27590  crctcshwlkn0lem5  27592  crctcshwlkn0lem6  27593  crctcshwlkn0  27599  crctcsh  27602  eucrctshift  28022  eucrct2eupth  28024  fzssfzo  31809  signsvfn  31852  elfzop1le2  41576  elfzolem1  41609  dvnmul  42248  iblspltprt  42278  stoweidlem3  42308  fourierdlem12  42424  fourierdlem50  42461  fourierdlem64  42475  fourierdlem79  42490  fzoopth  43547  iccpartiltu  43602  iccpartgt  43607  bgoldbtbndlem2  43991