Theorem elfzoel2 12663

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4064	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 12661	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6213	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 6983	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2959	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 482	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302   × cxp 5264  (class class class)co 6813  ℤcz 11569  ..^cfzo 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-neg 10461  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660

This theorem is referenced by:  elfzoelz  12664  elfzo2  12667  elfzole1  12672  elfzolt2  12673  elfzolt3  12674  elfzolt2b  12675  elfzolt3b  12676  fzonel  12677  elfzouz2  12678  fzonnsub  12687  fzoss1  12689  fzospliti  12694  fzodisj  12696  fzoaddel  12715  fzo0addelr  12717  elfzoext  12719  elincfzoext  12720  fzosubel  12721  fzoend  12753  ssfzo12  12755  fzofzp1  12759  elfzo1elm1fzo0  12763  fzonfzoufzol  12765  elfznelfzob  12768  peano2fzor  12769  fzostep1  12778  modsumfzodifsn  12937  addmodlteq  12939  cshwidxm1  13753  cshimadifsn0  13776  fzomaxdiflem  14281  fzo0dvdseq  15247  fzocongeq  15248  addmodlteqALT  15249  efgsp1  18350  efgsres  18351  crctcshwlkn0lem2  26914  crctcshwlkn0lem3  26915  crctcshwlkn0lem5  26917  crctcshwlkn0lem6  26918  crctcshwlkn0  26924  crctcsh  26927  eucrctshift  27395  eucrct2eupth  27397  fzssfzo  30922  signsvfn  30968  elfzop1le2  40001  elfzolem1  40035  dvnmul  40661  iblspltprt  40692  stoweidlem3  40723  fourierdlem12  40839  fourierdlem50  40876  fourierdlem64  40890  fourierdlem79  40905  fzoopth  41847  iccpartiltu  41868  iccpartgt  41873  bgoldbtbndlem2  42204