MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatalpha Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatalpha 13321
Description: A concatenation of two arbitrary words is a word over an alphabet iff the symbols of both words belong to the alphabet. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
ccatalpha ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆)))

Proof of Theorem ccatalpha
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatfval 13304 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))))
21eleq1d 2683 . . 3 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))) ∈ Word 𝑆))
3 wrdf 13256 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))) ∈ Word 𝑆 → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))):(0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))))))⟶𝑆)
4 funmpt 5889 . . . . . . . . 9 Fun (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))))
5 fzofi 12720 . . . . . . . . . . 11 (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ∈ Fin
6 mptfi 8216 . . . . . . . . . . 11 ((0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ∈ Fin → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))) ∈ Fin)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))) ∈ Fin
8 hashfun 13171 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))) ∈ Fin → (Fun (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))) ↔ (#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))))) = (#‘dom (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))))))
97, 8mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (Fun (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))) ↔ (#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))))) = (#‘dom (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))))))
104, 9mpbii 223 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))))) = (#‘dom (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))))))
11 dmmptg 5596 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))) = (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
12 fvex 6163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑥) ∈ V
13 fvex 6163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))) ∈ V
1412, 13ifex 4133 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ V)
1611, 15mprg 2921 . . . . . . . . . 10 dom (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))) = (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
1716fveq2i 6156 . . . . . . . . 9 (#‘dom (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))))) = (#‘(0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
18 lencl 13270 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word V → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
19 lencl 13270 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Word V → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
20 nn0addcl 11279 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℕ0)
2118, 19, 20syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℕ0)
22 hashfzo0 13164 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℕ0 → (#‘(0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (#‘(0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
2417, 23syl5eq 2667 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (#‘dom (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))))) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
2510, 24eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))))) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
2625oveq2d 6626 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))))) = (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
2726feq2d 5993 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))):(0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))))))⟶𝑆 ↔ (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))):(0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))⟶𝑆))
28 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))))
2928fmpt 6342 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))):(0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))⟶𝑆)
30 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → 𝐴 ∈ Word V)
31 nn0cn 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
32 nn0cn 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
33 addcom 10173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = ((#‘𝐵) + (#‘𝐴)))
3431, 32, 33syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = ((#‘𝐵) + (#‘𝐴)))
35 nn0z 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
3635anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
3736ancomd 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℤ))
38 nn0pzuz 11696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℤ) → ((#‘𝐵) + (#‘𝐴)) ∈ (ℤ‘(#‘𝐴)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐵) + (#‘𝐴)) ∈ (ℤ‘(#‘𝐴)))
4034, 39eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ (ℤ‘(#‘𝐴)))
4118, 19, 40syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ (ℤ‘(#‘𝐴)))
42 fzoss2 12444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ (ℤ‘(#‘𝐴)) → (0..^(#‘𝐴)) ⊆ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (0..^(#‘𝐴)) ⊆ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
4443sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝑦 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
45 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)) ↔ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴))))
46 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
47 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − (#‘𝐴)) = (𝑦 − (#‘𝐴)))
4847fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))) = (𝐵‘(𝑦 − (#‘𝐴))))
4945, 46, 48ifbieq12d 4090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) = if(𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑦), (𝐵‘(𝑦 − (#‘𝐴)))))
5049eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆 ↔ if(𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑦), (𝐵‘(𝑦 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆))
5150rspcv 3294 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → if(𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑦), (𝐵‘(𝑦 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆))
5244, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → if(𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑦), (𝐵‘(𝑦 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆))
53 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴)) → if(𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑦), (𝐵‘(𝑦 − (#‘𝐴)))) = (𝐴𝑦))
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → if(𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑦), (𝐵‘(𝑦 − (#‘𝐴)))) = (𝐴𝑦))
5554eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (if(𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑦), (𝐵‘(𝑦 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴𝑦) ∈ 𝑆))
5652, 55sylibd 229 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑆))
5756impancom 456 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴)) → (𝐴𝑦) ∈ 𝑆))
5857imp 445 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (𝐴𝑦) ∈ 𝑆)
5958ralrimiva 2961 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴))(𝐴𝑦) ∈ 𝑆)
60 iswrdsymb 13268 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word V ∧ ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐴))(𝐴𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
6130, 59, 60syl2an2r 875 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
62 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → 𝐵 ∈ Word V)
63 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵)))
6418adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
66 elincfzoext 12473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵)) ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^((#‘𝐵) + (#‘𝐴))))
6763, 65, 66syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → (𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^((#‘𝐵) + (#‘𝐴))))
6818nn0cnd 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ Word V → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
6919nn0cnd 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ Word V → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
7068, 69, 33syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = ((#‘𝐵) + (#‘𝐴)))
7170oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) = (0..^((#‘𝐵) + (#‘𝐴))))
7271eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ (𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^((#‘𝐵) + (#‘𝐴)))))
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → ((𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ (𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^((#‘𝐵) + (#‘𝐴)))))
7467, 73mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → (𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
75 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 + (#‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)) ↔ (𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐴))))
76 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 + (#‘𝐴)) → (𝐴𝑥) = (𝐴‘(𝑦 + (#‘𝐴))))
77 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑦 + (#‘𝐴)) → (𝑥 − (#‘𝐴)) = ((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴)))
7877fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 + (#‘𝐴)) → (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))) = (𝐵‘((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴))))
7975, 76, 78ifbieq12d 4090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 + (#‘𝐴)) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) = if((𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘(𝑦 + (#‘𝐴))), (𝐵‘((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴)))))
8079eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 + (#‘𝐴)) → (if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆 ↔ if((𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘(𝑦 + (#‘𝐴))), (𝐵‘((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆))
8180rspcv 3294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → if((𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘(𝑦 + (#‘𝐴))), (𝐵‘((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆))
8274, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → if((𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘(𝑦 + (#‘𝐴))), (𝐵‘((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆))
8318nn0red 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ Word V → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
8584adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
86 elfzoelz 12418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵)) → 𝑦 ∈ ℤ)
8786zred 11433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8984adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V)) → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
9088, 89readdcld 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V)) → (𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
9190ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → (𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
92 elfzole1 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵)) → 0 ≤ 𝑦)
9392adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → 0 ≤ 𝑦)
94 addge02 10490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑦 ↔ (#‘𝐴) ≤ (𝑦 + (#‘𝐴))))
9584, 87, 94syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → (0 ≤ 𝑦 ↔ (#‘𝐴) ≤ (𝑦 + (#‘𝐴))))
9693, 95mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → (#‘𝐴) ≤ (𝑦 + (#‘𝐴)))
9785, 91, 96lensymd 10139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → ¬ (𝑦 + (#‘𝐴)) < (#‘𝐴))
9897intn3an3d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → ¬ ((𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑦 + (#‘𝐴)) < (#‘𝐴)))
99 elfzo0 12456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐴)) ↔ ((𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑦 + (#‘𝐴)) < (#‘𝐴)))
10098, 99sylnibr 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → ¬ (𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐴)))
101100iffalsed 4074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → if((𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘(𝑦 + (#‘𝐴))), (𝐵‘((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴)))) = (𝐵‘((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴))))
102101eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → (if((𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘(𝑦 + (#‘𝐴))), (𝐵‘((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵‘((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴))) ∈ 𝑆))
10386zcnd 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵)) → 𝑦 ∈ ℂ)
10468adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
105 pncan 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (#‘𝐴) ∈ ℂ) → ((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴)) = 𝑦)
106103, 104, 105syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → ((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴)) = 𝑦)
107106fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → (𝐵‘((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴))) = (𝐵𝑦))
108107eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → ((𝐵‘((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴))) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵𝑦) ∈ 𝑆))
109108biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → ((𝐵‘((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴))) ∈ 𝑆 → (𝐵𝑦) ∈ 𝑆))
110102, 109sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → (if((𝑦 + (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘(𝑦 + (#‘𝐴))), (𝐵‘((𝑦 + (#‘𝐴)) − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → (𝐵𝑦) ∈ 𝑆))
11182, 110syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → (𝐵𝑦) ∈ 𝑆))
112111impancom 456 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵)) → (𝐵𝑦) ∈ 𝑆))
113112imp 445 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))) → (𝐵𝑦) ∈ 𝑆)
114113ralrimiva 2961 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))(𝐵𝑦) ∈ 𝑆)
115 iswrdsymb 13268 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Word V ∧ ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐵))(𝐵𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ Word 𝑆)
11662, 114, 115syl2an2r 875 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ Word 𝑆)
11761, 116jca 554 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆) → (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆))
118117ex 450 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆)))
11929, 118syl5bir 233 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))):(0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))⟶𝑆 → (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆)))
12027, 119sylbid 230 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))):(0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴)))))))⟶𝑆 → (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆)))
1213, 120syl5 34 . . 3 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (#‘𝐴))))) ∈ Word 𝑆 → (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆)))
1222, 121sylbid 230 . 2 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 → (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆)))
123 ccatcl 13305 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
124122, 123impbid1 215 1 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  wss 3559  ifcif 4063   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  Fun wfun 5846  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7906  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887   + caddc 9890   < clt 10025  cle 10026  cmin 10217  cn 10971  0cn0 11243  cz 11328  cuz 11638  ..^cfzo 12413  #chash 13064  Word cword 13237   ++ cconcat 13239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-n0 11244  df-xnn0 11315  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-hash 13065  df-word 13245  df-concat 13247
This theorem is referenced by:  ccatrcl1  13322
  Copyright terms: Public domain W3C validator