MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgcpbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqgcpbl 17588
Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqger.r = (𝐺 ~QG 𝑌)
eqgcpbl.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
eqgcpbl (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 𝐶𝐵 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem eqgcpbl
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 17566 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21adantr 481 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 subgrcl 17539 . . . . 5 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simprl 793 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐴 𝐶)
6 eqger.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
76subgss 17535 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌𝑋)
82, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝑌𝑋)
9 eqid 2621 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
10 eqgcpbl.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
11 eqger.r . . . . . . . 8 = (𝐺 ~QG 𝑌)
126, 9, 10, 11eqgval 17583 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋) → (𝐴 𝐶 ↔ (𝐴𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
134, 8, 12syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴 𝐶 ↔ (𝐴𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
145, 13mpbid 222 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌))
1514simp1d 1071 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐴𝑋)
16 simprr 795 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐵 𝐷)
176, 9, 10, 11eqgval 17583 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋) → (𝐵 𝐷 ↔ (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
184, 8, 17syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐵 𝐷 ↔ (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
1916, 18mpbid 222 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌))
2019simp1d 1071 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐵𝑋)
216, 10grpcl 17370 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
224, 15, 20, 21syl3anc 1323 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
2314simp2d 1072 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐶𝑋)
2419simp2d 1072 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐷𝑋)
256, 10grpcl 17370 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶𝑋𝐷𝑋) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
264, 23, 24, 25syl3anc 1323 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
276, 10, 9grpinvadd 17433 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)))
284, 15, 20, 27syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)))
2928oveq1d 6630 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = ((((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)))
306, 9grpinvcl 17407 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
314, 20, 30syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
326, 9grpinvcl 17407 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
334, 15, 32syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
346, 10grpass 17371 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
354, 31, 33, 26, 34syl13anc 1325 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
3629, 35eqtrd 2655 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
376, 10grpass 17371 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
384, 33, 23, 24, 37syl13anc 1325 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
3938oveq1d 6630 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)))
406, 10grpcl 17370 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋𝐶𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
414, 33, 23, 40syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
426, 10grpass 17371 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋𝐷𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))))
434, 41, 24, 31, 42syl13anc 1325 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))))
4439, 43eqtr3d 2657 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))))
4514simp3d 1073 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)
4619simp3d 1073 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)
47 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
486, 10nsgbi 17565 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋𝐷𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
4947, 31, 24, 48syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
5046, 49mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
5110subgcl 17544 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌 ∧ (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
522, 45, 50, 51syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
5344, 52eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
546, 10grpcl 17370 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
554, 33, 26, 54syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
566, 10nsgbi 17565 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
5747, 55, 31, 56syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
5853, 57mpbid 222 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌)
5936, 58eqeltrd 2698 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)
606, 9, 10, 11eqgval 17583 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
614, 8, 60syl2anc 692 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
6222, 26, 59, 61mpbir3and 1243 . 2 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷))
6362ex 450 1 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 𝐶𝐵 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3560   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  Grpcgrp 17362  invgcminusg 17363  SubGrpcsubg 17528  NrmSGrpcnsg 17529   ~QG cqg 17530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-subg 17531  df-nsg 17532  df-eqg 17533
This theorem is referenced by:  qusgrp  17589  qusadd  17591  qus1  19175
  Copyright terms: Public domain W3C validator