Theorem equivtotbnd 35071

Description: If the metric 𝑀 is "strongly finer" than 𝑁 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝑁(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝑀(𝑥, 𝑦)), then total boundedness of 𝑀 implies total boundedness of 𝑁. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is totally bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivtotbnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
equivtotbnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivtotbnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivtotbnd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
equivtotbnd	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem equivtotbnd

Dummy variables 𝑣 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equivtotbnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
2		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
3		equivtotbnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
4	3	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
5	2, 4	rpdivcld 12449	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
6		equivtotbnd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
7	6	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
8		istotbnd3 35064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋))
9	8	simprbi 499	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋)
11		oveq2 7164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)))
12	11	iuneq2d 4948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)))
13	12	eqeq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 ↔ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
14	13	rexbidv 3297	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
15	14	rspcv 3618	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
16	5, 10, 15	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋)
17		elfpw 8826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↔ (𝑣 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ Fin))
18	17	simplbi 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
19	18	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
20	19	sselda 3967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑋)
21		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘𝑁) = (MetOpen‘𝑁)
22		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘𝑀) = (MetOpen‘𝑀)
23	8	simplbi 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
25		equivtotbnd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
26	21, 22, 1, 24, 3, 25	metss2lem 23121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
27	26	anass1rs 653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
28	27	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
29	20, 28	syldan 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
30	29	ralrimiva 3182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
31		ss2iun 4937	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
33		sseq1 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ↔ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
34	32, 33	syl5ibcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
35	1	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
36		metxmet 22944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋))
38		simpllr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑟 ∈ ℝ+)
39	38	rpxrd 12433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑟 ∈ ℝ*)
40		blssm 23028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
41	37, 20, 39, 40	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
42	41	ralrimiva 3182	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
43		iunss 4969	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
44	42, 43	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
45	34, 44	jctild 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))))
46		eqss 3982	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋 ↔ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
47	45, 46	syl6ibr 254	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
48	47	reximdva 3274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
49	16, 48	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋)
50	49	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋)
51		istotbnd3 35064	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
52	1, 50, 51	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539  ∪ ciun 4919   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Fincfn 8509   · cmul 10542  ℝ^*cxr 10674   ≤ cle 10676   / cdiv 11297  ℝ⁺crp 12390  ∞Metcxmet 20530  Metcmet 20531  ballcbl 20532  MetOpencmopn 20535  TotBndctotbnd 35059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-rp 12391  df-xadd 12509  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-totbnd 35061

This theorem is referenced by:  equivbnd2  35085