MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpdivcld 11718
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpdivcld (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rpdivcl 11685 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6524   / cdiv 10530  +crp 11661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-rp 11662
This theorem is referenced by:  bcpasc  12922  mulcn2  14117  o1rlimmul  14140  mertenslem1  14398  mertenslem2  14399  effsumlt  14623  prmind2  15179  nlmvscnlem2  22229  nlmvscnlem1  22230  nghmcn  22288  lebnumlem3  22498  lebnumii  22501  nmoleub3  22655  ipcnlem2  22766  ipcnlem1  22767  equivcfil  22820  equivcau  22821  ovollb2lem  22977  ovoliunlem1  22991  uniioombllem6  23076  itg2const2  23228  itg2cnlem2  23249  aalioulem2  23806  aalioulem4  23808  aalioulem5  23809  aalioulem6  23810  aaliou  23811  aaliou2b  23814  aaliou3lem9  23823  itgulm  23880  abelthlem7  23910  abelthlem8  23911  tanrpcl  23974  logdivlti  24084  logcnlem2  24103  ang180lem2  24254  isosctrlem2  24263  birthdaylem2  24393  cxp2limlem  24416  cxp2lim  24417  cxploglim  24418  cxploglim2  24419  amgmlem  24430  logdiflbnd  24435  emcllem2  24437  fsumharmonic  24452  lgamgulmlem2  24470  lgamgulmlem3  24471  lgamgulmlem4  24472  lgamgulmlem5  24473  lgamgulmlem6  24474  lgamgulm2  24476  lgamucov  24478  lgamcvg2  24495  gamcvg  24496  gamcvg2lem  24499  regamcl  24501  relgamcl  24502  lgam1  24504  ftalem4  24516  chpval2  24657  chpchtsum  24658  logfacrlim  24663  logexprlim  24664  bclbnd  24719  bposlem1  24723  bposlem2  24724  lgsquadlem2  24820  chebbnd1lem1  24872  chebbnd1lem3  24874  chebbnd1  24875  chtppilimlem2  24877  chebbnd2  24880  chto1lb  24881  rplogsumlem2  24888  rpvmasumlem  24890  dchrvmasumlem1  24898  dchrvmasum2if  24900  dchrisum0lem1b  24918  dchrisum0lem2a  24920  vmalogdivsum2  24941  2vmadivsumlem  24943  selberglem3  24950  selberg  24951  selberg4lem1  24963  selberg3r  24972  selberg4r  24973  selberg34r  24974  pntrlog2bndlem1  24980  pntrlog2bndlem2  24981  pntrlog2bndlem3  24982  pntrlog2bndlem4  24983  pntrlog2bndlem5  24984  pntrlog2bndlem6a  24985  pntrlog2bndlem6  24986  pntrlog2bnd  24987  pntpbnd1a  24988  pntpbnd1  24989  pntpbnd2  24990  pntibndlem2  24994  pntibndlem3  24995  pntlemd  24997  pntlemc  24998  pntlema  24999  pntlemb  25000  pntlemg  25001  pntlemn  25003  pntlemq  25004  pntlemr  25005  pntlemj  25006  pntlemf  25008  pntlemo  25010  pnt2  25016  pnt  25017  ostth2lem3  25038  ostth2  25040  blocni  26847  ubthlem2  26914  lnconi  28079  rpxdivcld  28776  omssubadd  29492  faclimlem1  30685  faclimlem3  30687  faclim  30688  iprodfac  30689  equivtotbnd  32547  rrncmslem  32601  rrnequiv  32604  irrapxlem5  36208  xralrple2  38312  xralrple3  38332  iooiinicc  38417  iooiinioc  38431  limclner  38519  fprodsubrecnncnvlem  38595  fprodaddrecnncnvlem  38597  stoweidlem31  38725  stoweidlem59  38753  wallispilem3  38761  wallispilem4  38762  wallispilem5  38763  wallispi  38764  wallispi2lem1  38765  stirlinglem2  38769  stirlinglem4  38771  stirlinglem8  38775  stirlinglem13  38780  stirlinglem15  38782  stirlingr  38784  fourierdlem30  38831  fourierdlem73  38873  fourierdlem87  38887  qndenserrnbllem  38991  ovnsubaddlem1  39261  ovnsubaddlem2  39262  hoiqssbllem1  39313  hoiqssbllem2  39314  hoiqssbllem3  39315  ovolval5lem1  39343  ovolval5lem2  39344  vonioolem1  39372  smfmullem1  39477  smfmullem2  39478  smfmullem3  39479
  Copyright terms: Public domain W3C validator