Theorem rpdivcld 12449

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156   / cdiv 11297  ℝ⁺crp 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-rp 12391

This theorem is referenced by:  bcpasc  13682  mulcn2  14952  o1rlimmul  14975  mertenslem1  15240  mertenslem2  15241  effsumlt  15464  prmind2  16029  nlmvscnlem2  23294  nlmvscnlem1  23295  nghmcn  23354  lebnumlem3  23567  lebnumii  23570  nmoleub3  23723  ipcnlem2  23847  ipcnlem1  23848  equivcfil  23902  equivcau  23903  ovollb2lem  24089  ovoliunlem1  24103  uniioombllem6  24189  itg2const2  24342  itg2cnlem2  24363  aalioulem2  24922  aalioulem4  24924  aalioulem5  24925  aalioulem6  24926  aaliou  24927  aaliou2b  24930  aaliou3lem9  24939  itgulm  24996  abelthlem7  25026  abelthlem8  25027  tanrpcl  25090  logdivlti  25203  logcnlem2  25226  ang180lem2  25388  isosctrlem2  25397  birthdaylem2  25530  cxp2limlem  25553  cxp2lim  25554  cxploglim  25555  cxploglim2  25556  amgmlem  25567  logdiflbnd  25572  emcllem2  25574  fsumharmonic  25589  lgamgulmlem2  25607  lgamgulmlem3  25608  lgamgulmlem4  25609  lgamgulmlem5  25610  lgamgulmlem6  25611  lgamgulm2  25613  lgamucov  25615  lgamcvg2  25632  gamcvg  25633  gamcvg2lem  25636  regamcl  25638  relgamcl  25639  lgam1  25641  ftalem4  25653  chpval2  25794  chpchtsum  25795  logfacrlim  25800  logexprlim  25801  bclbnd  25856  bposlem1  25860  bposlem2  25861  lgsquadlem2  25957  chebbnd1lem1  26045  chebbnd1lem3  26047  chebbnd1  26048  chtppilimlem2  26050  chebbnd2  26053  chto1lb  26054  rplogsumlem2  26061  rpvmasumlem  26063  dchrvmasumlem1  26071  dchrvmasum2if  26073  dchrisum0lem1b  26091  dchrisum0lem2a  26093  vmalogdivsum2  26114  2vmadivsumlem  26116  selberglem3  26123  selberg  26124  selberg4lem1  26136  selberg3r  26145  selberg4r  26146  selberg34r  26147  pntrlog2bndlem1  26153  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bndlem3  26155  pntrlog2bndlem4  26156  pntrlog2bndlem5  26157  pntrlog2bndlem6a  26158  pntrlog2bndlem6  26159  pntrlog2bnd  26160  pntpbnd1a  26161  pntpbnd1  26162  pntpbnd2  26163  pntibndlem2  26167  pntibndlem3  26168  pntlemd  26170  pntlemc  26171  pntlema  26172  pntlemb  26173  pntlemg  26174  pntlemn  26176  pntlemq  26177  pntlemr  26178  pntlemj  26179  pntlemf  26181  pntlemo  26183  pnt2  26189  pnt  26190  ostth2lem3  26211  ostth2  26213  blocni  28582  ubthlem2  28648  lnconi  29810  rpxdivcld  30610  omssubadd  31558  hgt750leme  31929  faclimlem1  32975  faclimlem3  32977  faclim  32978  iprodfac  32979  equivtotbnd  35071  rrncmslem  35125  rrnequiv  35128  fltne  39321  irrapxlem5  39472  xralrple2  41671  xralrple3  41691  iooiinicc  41867  iooiinioc  41881  limclner  41981  fprodsubrecnncnvlem  42240  fprodaddrecnncnvlem  42242  stoweidlem31  42365  stoweidlem59  42393  wallispilem3  42401  wallispilem4  42402  wallispilem5  42403  wallispi  42404  wallispi2lem1  42405  stirlinglem2  42409  stirlinglem4  42411  stirlinglem8  42415  stirlinglem13  42420  stirlinglem15  42422  stirlingr  42424  fourierdlem30  42471  fourierdlem73  42513  fourierdlem87  42527  qndenserrnbllem  42628  ovnsubaddlem1  42901  ovnsubaddlem2  42902  hoiqssbllem1  42953  hoiqssbllem2  42954  hoiqssbllem3  42955  ovolval5lem1  42983  ovolval5lem2  42984  vonioolem1  43011  smfmullem1  43115  smfmullem2  43116  smfmullem3  43117