Theorem extdggt0 31071

Description: Degrees of field extension are greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
extdggt0	⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))

Proof of Theorem extdggt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldextfld1 31063	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ Field)
2		isfld 19506	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
3	2	simplbi 500	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ Field → 𝐸 ∈ DivRing)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ DivRing)
5		fldextress 31066	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)))
6		fldextfld2 31064	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ Field)
7		isfld 19506	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
8	7	simplbi 500	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ DivRing)
10	5, 9	eqeltrrd 2913	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
11		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
12	11	fldextsubrg 31065	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸))
13		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))
14		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹))
15	13, 14	sralvec 31014	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
16	4, 10, 12, 15	syl3anc 1366	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
17		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
18	17	subrgss 19531	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸) → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
19	12, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
20	13, 17	sradrng 31012	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
21	4, 19, 20	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
22		drngdimgt0 31040	. . 3 ⊢ ((((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec ∧ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing) → 0 < (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
23	16, 21, 22	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
24		extdgval 31068	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
25	23, 24	breqtrrd 5087	1 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3929   class class class wbr 5059  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  0cc0 10530   < clt 10668  Basecbs 16478   ↾_s cress 16479  CRingccrg 19293  DivRingcdr 19497  Fieldcfield 19498  SubRingcsubrg 19526  LVecclvec 19869  subringAlg csra 19935  dimcldim 31023  /_FldExtcfldext 31052  [:]cextdg 31055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-reg 9049  ax-inf2 9097  ax-ac2 9878  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-rpss 7442  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-tpos 7885  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-oi 8967  df-r1 9186  df-rank 9187  df-dju 9323  df-card 9361  df-acn 9364  df-ac 9535  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12890  df-hash 13688  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ocomp 16581  df-0g 16710  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-mri 16854  df-acs 16855  df-proset 17533  df-drs 17534  df-poset 17551  df-ipo 17757  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19235  df-ur 19247  df-ring 19294  df-oppr 19368  df-dvdsr 19386  df-unit 19387  df-invr 19417  df-drng 19499  df-field 19500  df-subrg 19528  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-lsp 19739  df-lbs 19842  df-lvec 19870  df-sra 19939  df-nzr 20026  df-lindf 20945  df-linds 20946  df-dim 31024  df-fldext 31056  df-extdg 31057

This theorem is referenced by:  finexttrb  31076