Theorem drngdimgt0 31016

Description: The dimension of a vector space that is also a division ring is greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
drngdimgt0	⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))

Proof of Theorem drngdimgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1m1e0 11710	. 2 ⊢ (1 − 1) = 0
2		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LVec)
3		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ DivRing)
4		drngring 19509	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
5		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
7	5, 6	ringidcl 19318	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
8	3, 4, 7	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
9		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
10	9, 6	drngunz 19517	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
11	10	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
12		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
13		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)})) = (𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))
14	5, 12, 9, 13	lsatdim 31015	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹)) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) = 1)
15	2, 8, 11, 14	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) = 1)
16		lveclmod 19878	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ LMod)
17	16	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LMod)
18	8	snssd 4742	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → {(1r‘𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹))
19		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝐹) = (LSubSp‘𝐹)
20	5, 19, 12	lspcl 19748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ {(1r‘𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹)) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
21	17, 18, 20	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
22	13	lssdimle 31006	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹)) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
23	2, 21, 22	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
24	15, 23	eqbrtrrd 5090	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 1 ≤ (dim‘𝐹))
25		1nn0 11914	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26		dimcl 31003	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
27	26	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
28		xnn0lem1lt 12638	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
29	25, 27, 28	sylancr 589	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
30	24, 29	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 − 1) < (dim‘𝐹))
31	1, 30	eqbrtrrid 5102	1 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ⊆ wss 3936  {csn 4567   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870  ℕ₀cn0 11898  ℕ₀^*cxnn0 11968  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484  0_gc0g 16713  1_rcur 19251  Ringcrg 19297  DivRingcdr 19502  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743  LVecclvec 19874  dimcldim 30999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-reg 9056  ax-inf2 9104  ax-ac2 9885  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-rpss 7449  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-oi 8974  df-r1 9193  df-rank 9194  df-dju 9330  df-card 9368  df-acn 9371  df-ac 9542  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-hash 13692  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ocomp 16586  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-mri 16859  df-acs 16860  df-proset 17538  df-drs 17539  df-poset 17556  df-ipo 17762  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lbs 19847  df-lvec 19875  df-nzr 20031  df-lindf 20950  df-linds 20951  df-dim 31000

This theorem is referenced by:  extdggt0  31047