Theorem finexttrb 31076

Description: The extension 𝐸 of 𝐾 is finite if and only if 𝐸 is finite over 𝐹 and 𝐹 is finite over 𝐾. Corollary 1.3 of [Lang] , p. 225. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
finexttrb	⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾)))

Proof of Theorem finexttrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extdgmul 31075	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)))
2	1	eleq1d 2896	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0))
3		fldexttr 31072	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 𝐸/FldExt𝐾)
4		brfinext 31067	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0))
6		brfinext 31067	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸/FinExt𝐹 ↔ (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0))
7		brfinext 31067	. . . 4 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → (𝐹/FinExt𝐾 ↔ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0))
8	6, 7	bi2anan9 637	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾) ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
9		extdgcl 31070	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)
10	9	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)
11		extdgcl 31070	. . . . 5 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
12	11	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
13		extdggt0 31071	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))
14	13	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 0 < (𝐸[:]𝐹))
15	14	gt0ne0d 11197	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐹) ≠ 0)
16		extdggt0 31071	. . . . . 6 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → 0 < (𝐹[:]𝐾))
17	16	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 0 < (𝐹[:]𝐾))
18	17	gt0ne0d 11197	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐹[:]𝐾) ≠ 0)
19		nn0xmulclb 30496	. . . 4 ⊢ ((((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0* ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*) ∧ ((𝐸[:]𝐹) ≠ 0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ≠ 0)) → (((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
20	10, 12, 15, 18, 19	syl22anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
21	8, 20	bitr4d 284	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾) ↔ ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0))
22	2, 5, 21	3bitr4d 313	1 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015   class class class wbr 5059  (class class class)co 7149  0cc0 10530   < clt 10668  ℕ₀cn0 11891  ℕ₀^*cxnn0 11961   ·_e cxmu 12500  /_FldExtcfldext 31052  /_FinExtcfinext 31053  [:]cextdg 31055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-reg 9049  ax-inf2 9097  ax-ac2 9878  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7402  df-rpss 7442  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-supp 7824  df-tpos 7885  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-ixp 8455  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-fsupp 8827  df-sup 8899  df-oi 8967  df-r1 9186  df-rank 9187  df-dju 9323  df-card 9361  df-acn 9364  df-ac 9535  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-xmul 12503  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-hash 13688  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ocomp 16581  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-mri 16854  df-acs 16855  df-proset 17533  df-drs 17534  df-poset 17551  df-ipo 17757  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19235  df-ur 19247  df-ring 19294  df-oppr 19368  df-dvdsr 19386  df-unit 19387  df-invr 19417  df-drng 19499  df-field 19500  df-subrg 19528  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-lsp 19739  df-lmhm 19789  df-lbs 19842  df-lvec 19870  df-sra 19939  df-rgmod 19940  df-nzr 20026  df-dsmm 20871  df-frlm 20886  df-uvc 20922  df-lindf 20945  df-linds 20946  df-dim 31024  df-fldext 31056  df-extdg 31057  df-finext 31058

This theorem is referenced by: (None)