Theorem footexlem1 26505

Description: Lemma for footex 26507 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
foot.y	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
footexlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
footexlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
footexlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
footexlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
footexlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
footexlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
footexlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
footexlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
footexlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)
footexlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑌))
footexlem.4	⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − 𝐶))
footexlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))
footexlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐼𝑍))
footexlem.7	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑅))
footexlem.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
footexlem.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
footexlem.9	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − 𝐸))
footexlem.10	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)𝐼𝐷))
footexlem.11	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐷) = (𝑌 − 𝐶))
footexlem.12	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
footexlem1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem footexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isperp.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		isperp.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		footexlem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		footexlem.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
7		footexlem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		isperp.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
9		footexlem.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
10		footexlem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑅))
11	10	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑅) = (𝑌 − 𝑍))
12		footexlem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))
13		footexlem.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		footexlem.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
15		footexlem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)
16	15	necomd 3071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐸)
17		footexlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑌))
18	1, 2, 3, 4, 14, 13, 5, 16, 17	btwnlng3 26407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐹𝐿𝐸))
19	1, 2, 3, 4, 13, 14, 5, 15, 18	lncom 26408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐿𝐹))
20		footexlem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
21	19, 20	eleqtrrd 2916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
22		foot.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
23		nelne2 3115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝑌 ≠ 𝐶)
24	21, 22, 23	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝐶)
25	24	necomd 3071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑌)
26	12, 25	eqnetrrd 3084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) ≠ 𝑌)
27		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
28		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑅) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑅)
29	1, 8, 2, 3, 27, 4, 9, 28, 5	mirinv 26452	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) = 𝑌 ↔ 𝑅 = 𝑌))
30	29	necon3bid 3060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) ≠ 𝑌 ↔ 𝑅 ≠ 𝑌))
31	26, 30	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝑌)
32	31	necomd 3071	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑅)
33	1, 8, 2, 4, 5, 9, 5, 6, 11, 32	tgcgrneq 26269	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
34	33	necomd 3071	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
35		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑍) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑍)
36		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑋) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑋)
37		footexlem.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
38	1, 8, 2, 3, 27, 4, 6, 35, 37	mircl 26447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄) ∈ 𝑃)
39		foot.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
40		footexlem.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
41	1, 8, 2, 3, 27, 4, 9, 28, 5	mirbtwn 26444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)𝐼𝑌))
42	12	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐼𝑌) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)𝐼𝑌))
43	41, 42	eleqtrrd 2916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐶𝐼𝑌))
44		footexlem.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
45	1, 8, 2, 4, 39, 9, 5, 37, 31, 43, 44	tgbtwnouttr2 26281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶𝐼𝑄))
46	1, 8, 2, 4, 39, 5, 37, 45	tgbtwncom 26274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑄𝐼𝐶))
47		footexlem.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)𝐼𝐷))
48		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
49		footexlem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − 𝐶))
50	12	oveq2d 7172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐶) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)))
51	49, 50	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)))
52	1, 8, 2, 3, 27, 4, 13, 9, 5	israg 26483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))))
53	51, 52	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
54		footexlem.9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − 𝐸))
55	1, 8, 2, 4, 13, 5, 13, 39, 49	tgcgrcomlr 26266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐸) = (𝐶 − 𝐸))
56	54, 55	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐸) = (𝑌 − 𝑄))
57	1, 2, 3, 4, 13, 14, 15	tglinerflx1 26419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐸𝐿𝐹))
58	57, 20	eleqtrrd 2916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)
59		nelne2 3115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐸 ≠ 𝐶)
60	58, 22, 59	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐶)
61	60	necomd 3071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐸)
62	1, 8, 2, 4, 39, 13, 5, 37, 56, 61	tgcgrneq 26269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
63	62	necomd 3071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑌)
64	1, 8, 2, 4, 9, 5, 37, 44	tgbtwncom 26274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑄𝐼𝑅))
65		footexlem.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐼𝑍))
66	1, 8, 2, 4, 5, 37, 5, 13, 54	tgcgrcomlr 26266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝑌) = (𝐸 − 𝑌))
67	1, 8, 2, 4, 37, 13	axtgcgrrflx 26248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝐸) = (𝐸 − 𝑄))
68	54	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐸) = (𝑌 − 𝑄))
69	1, 8, 2, 4, 37, 5, 9, 13, 5, 6, 13, 37, 63, 64, 65, 66, 11, 67, 68	axtg5seg 26251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 𝐸) = (𝑍 − 𝑄))
70	1, 8, 2, 4, 9, 13, 6, 37, 69	tgcgrcomlr 26266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑅) = (𝑄 − 𝑍))
71	1, 8, 2, 4, 5, 9, 5, 6, 11	tgcgrcomlr 26266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑌))
72	1, 8, 48, 4, 13, 9, 5, 37, 6, 5, 70, 71, 68	trgcgr 26302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑄𝑍𝑌”⟩)
73	1, 8, 2, 3, 27, 4, 13, 9, 5, 48, 37, 6, 5, 53, 72	ragcgr 26493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑄𝑍𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
74	1, 8, 2, 3, 27, 4, 37, 6, 5, 73	ragcom 26484	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑍𝑄”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
75	1, 8, 2, 3, 27, 4, 5, 6, 37	israg 26483	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑌𝑍𝑄”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄))))
76	74, 75	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)))
77		footexlem.11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐷) = (𝑌 − 𝐶))
78	77	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐶) = (𝑌 − 𝐷))
79		eqidd 2822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄))
80		footexlem.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝐶))
81	1, 8, 2, 3, 27, 4, 35, 36, 37, 38, 5, 39, 40, 6, 7, 46, 47, 76, 78, 79, 80	krippen 26477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
82	1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 34, 81	btwnlng3 26407	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
83	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 33, 82	lncom 26408	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
84		isperp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
85	49	eqcomd 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐶) = (𝐸 − 𝑌))
86	1, 8, 2, 4, 13, 39, 13, 5, 85, 60	tgcgrneq 26269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝑌)
87	1, 2, 3, 4, 13, 5, 6, 86, 65	btwnlng3 26407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐸𝐿𝑌))
88	1, 2, 3, 4, 13, 5, 86, 86, 84, 58, 21	tglinethru 26422	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝑌))
89	87, 88	eleqtrrd 2916	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
90	1, 2, 3, 4, 5, 6, 33, 33, 84, 21, 89	tglinethru 26422	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑌𝐿𝑍))
91	83, 90	eleqtrrd 2916	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ran crn 5556  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ⟨“cs3 14204  Basecbs 16483  distcds 16574  TarskiGcstrkg 26216  Itvcitv 26222  LineGclng 26223  cgrGccgrg 26296  pInvGcmir 26438  ∟Gcrag 26479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-trkgc 26234  df-trkgb 26235  df-trkgcb 26236  df-trkg 26239  df-cgrg 26297  df-leg 26369  df-mir 26439  df-rag 26480

This theorem is referenced by:  footexlem2  26506  footex  26507