Theorem fprodex01 30541

Description: A product of factors equal to zero or one is zero exactly when one of the factors is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodex01.1	⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐶)
fprodex01.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodex01.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})

Assertion

Ref	Expression
fprodex01	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑙)

Proof of Theorem fprodex01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
2		fprodex01.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 = 1 ↔ 𝐶 = 1))
4	3	cbvralvw 3449	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
5	1, 4	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
6	5	prodeq2d 15276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 1)
7		fprodex01.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		prod1 15298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
9	8	olcs 872	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
11	10	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
12	6, 11	eqtr2d 2857	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 1 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
13		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙𝜑
14		nfra1 3219	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1
15	14	nfn 1857	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙 ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1
16	13, 15	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙(𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
17		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0
18	7	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 𝐴 ∈ Fin)
19	18	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
20		pr01ssre 30540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
21		ax-resscn 10594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
22	20, 21	sstri 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
23		fprodex01.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})
24	22, 23	sseldi 3965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	24	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	25	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	26	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝑙 ∈ 𝐴)
29		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐶 = 0)
30	2, 19, 27, 28, 29	fprodeq02 30539	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
31		rexnal 3238	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 ↔ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
32	31	biimpri 230	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1 → ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
33	32	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
34	23	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {0, 1})
35	2	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∈ {0, 1} ↔ 𝐶 ∈ {0, 1}))
36	35	cbvralvw 3449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {0, 1} ↔ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
37	34, 36	sylib 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
38	37	r19.21bi 3208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ {0, 1})
39		c0ex 10635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
40		1ex 10637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
41	39, 40	elpr2 4591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ {0, 1} ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
42	38, 41	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
43	42	orcomd 867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝐶 = 1 ∨ 𝐶 = 0))
44	43	ord 860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐶 = 1 → 𝐶 = 0))
45	44	reximdva 3274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0))
46	45	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0))
47	33, 46	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0)
48	16, 17, 30, 47	r19.29af2 3330	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
49	48	eqcomd 2827	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 0 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
50	12, 49	ifeqda 4502	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
51	50	eqcomd 2827	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936  ifcif 4467  {cpr 4569  ‘cfv 6355  Fincfn 8509  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538  ℤ_≥cuz 12244  ∏cprod 15259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-prod 15260

This theorem is referenced by:  prodindf  31282