Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodex01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodex01 29699
 Description: A product of factors equal to zero or one is zero exactly when one of the factors is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodex01.1 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝐶)
fprodex01.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodex01.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})
Assertion
Ref Expression
fprodex01 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = if(∀𝑙𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑙)

Proof of Theorem fprodex01
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
2 fprodex01.1 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝐶)
32eqeq1d 2653 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 = 1 ↔ 𝐶 = 1))
43cbvralv 3201 . . . . . 6 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 1 ↔ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
51, 4sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 1)
65prodeq2d 14696 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘𝐴 1)
7 fprodex01.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
8 prod1 14718 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
98olcs 409 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
126, 11eqtr2d 2686 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → 1 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
13 nfv 1883 . . . . . 6 𝑙𝜑
14 nfra1 2970 . . . . . . 7 𝑙𝑙𝐴 𝐶 = 1
1514nfn 1824 . . . . . 6 𝑙 ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1
1613, 15nfan 1868 . . . . 5 𝑙(𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
17 nfv 1883 . . . . 5 𝑙𝑘𝐴 𝐵 = 0
187adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → 𝐴 ∈ Fin)
1918ad2antrr 762 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
20 pr01ssre 29698 . . . . . . . . . . 11 {0, 1} ⊆ ℝ
21 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
2220, 21sstri 3645 . . . . . . . . . 10 {0, 1} ⊆ ℂ
23 fprodex01.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})
2422, 23sseldi 3634 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2524adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2625adantlr 751 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2726adantlr 751 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 simplr 807 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝑙𝐴)
29 simpr 476 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐶 = 0)
302, 19, 27, 28, 29fprodeq02 29697 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
31 rexnal 3024 . . . . . . . 8 (∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1 ↔ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
3231biimpri 218 . . . . . . 7 (¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1 → ∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
3332adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
3423ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ {0, 1})
352eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∈ {0, 1} ↔ 𝐶 ∈ {0, 1}))
3635cbvralv 3201 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ {0, 1} ↔ ∀𝑙𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
3734, 36sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑙𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
3837r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑙𝐴) → 𝐶 ∈ {0, 1})
39 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
40 1ex 10073 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
4139, 40elpr2 4232 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ {0, 1} ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
4238, 41sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙𝐴) → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
4342orcomd 402 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑙𝐴) → (𝐶 = 1 ∨ 𝐶 = 0))
4443ord 391 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑙𝐴) → (¬ 𝐶 = 1 → 𝐶 = 0))
4544reximdva 3046 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙𝐴 𝐶 = 0))
4645adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → (∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙𝐴 𝐶 = 0))
4733, 46mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙𝐴 𝐶 = 0)
4816, 17, 30, 47r19.29af2 3104 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
4948eqcomd 2657 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → 0 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
5012, 49ifeqda 4154 . 2 (𝜑 → if(∀𝑙𝐴 𝐶 = 1, 1, 0) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
5150eqcomd 2657 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = if(∀𝑙𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607  ifcif 4119  {cpr 4212  ‘cfv 5926  Fincfn 7997  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ℤ≥cuz 11725  ∏cprod 14679 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680 This theorem is referenced by:  prodindf  30213
 Copyright terms: Public domain W3C validator