Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodpr 29700
 Description: A product over a pair is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
prodpr.1 (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
prodpr.2 (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
prodpr.a (𝜑𝐴𝑉)
prodpr.b (𝜑𝐵𝑊)
prodpr.e (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
prodpr.f (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
prodpr.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
prodpr (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem prodpr
StepHypRef Expression
1 prodpr.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
2 disjsn2 4279 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4 df-pr 4213 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6 prfi 8276 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8 vex 3234 . . . . 5 𝑘 ∈ V
98elpr 4231 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵))
10 prodpr.1 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
1110adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐸)
12 prodpr.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
1411, 13eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
15 prodpr.2 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐹)
17 prodpr.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ℂ)
1916, 18eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
2014, 19jaodan 843 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
219, 20sylan2b 491 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐷 ∈ ℂ)
223, 5, 7, 21fprodsplit 14740 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷))
23 prodpr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
2410prodsn 14736 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐸 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 = 𝐸)
2523, 12, 24syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 = 𝐸)
26 prodpr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
2715prodsn 14736 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐹 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷 = 𝐹)
2826, 17, 27syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷 = 𝐹)
2925, 28oveq12d 6708 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷) = (𝐸 · 𝐹))
3022, 29eqtrd 2685 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606  ∅c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972   · cmul 9979  ∏cprod 14679 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680 This theorem is referenced by:  prodtp  29701
 Copyright terms: Public domain W3C validator