MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmvscafval 20309
Description: Scalar multiplication in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmvscafval.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscafval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscafval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscafval.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmvscafval.a (𝜑𝐴𝐾)
frlmvscafval.x (𝜑𝑋𝐵)
frlmvscafval.v = ( ·𝑠𝑌)
frlmvscafval.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
frlmvscafval (𝜑 → (𝐴 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝑋))

Proof of Theorem frlmvscafval
StepHypRef Expression
1 frlmvscafval.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
2 frlmvscafval.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3 frlmvscafval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
42, 3frlmrcl 20301 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑅 ∈ V)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ V)
6 frlmvscafval.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
72, 3frlmpws 20294 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
85, 6, 7syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
98fveq2d 6354 . . . 4 (𝜑 → ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
10 frlmvscafval.v . . . 4 = ( ·𝑠𝑌)
11 fvex 6360 . . . . . 6 (Base‘𝑌) ∈ V
123, 11eqeltri 2833 . . . . 5 𝐵 ∈ V
13 eqid 2758 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
14 eqid 2758 . . . . . 6 ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
1513, 14ressvsca 16232 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
1612, 15ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
179, 10, 163eqtr4g 2817 . . 3 (𝜑 = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1817oveqd 6828 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑋))
19 eqid 2758 . . 3 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
20 eqid 2758 . . 3 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
21 frlmvscafval.t . . . 4 · = (.r𝑅)
22 rlmvsca 19402 . . . 4 (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
2321, 22eqtri 2780 . . 3 · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
24 eqid 2758 . . 3 (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
25 eqid 2758 . . 3 (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
26 fvexd 6362 . . 3 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
27 frlmvscafval.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
28 frlmvscafval.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
29 rlmsca 19400 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
305, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
3130fveq2d 6354 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
3228, 31syl5eq 2804 . . . 4 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
3327, 32eleqtrd 2839 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
348fveq2d 6354 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
353, 34syl5eq 2804 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
3613, 20ressbasss 16132 . . . . 5 (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
3735, 36syl6eqss 3794 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
3837, 1sseldd 3743 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
3919, 20, 23, 14, 24, 25, 26, 6, 33, 38pwsvscafval 16354 . 2 (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝑋))
4018, 39eqtrd 2792 1 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2137  Vcvv 3338  {csn 4319   × cxp 5262  cfv 6047  (class class class)co 6811  𝑓 cof 7058  Basecbs 16057  s cress 16058  .rcmulr 16142  Scalarcsca 16144   ·𝑠 cvsca 16145  s cpws 16307  ringLModcrglmod 19369   freeLMod cfrlm 20290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-fz 12518  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-hom 16166  df-cco 16167  df-prds 16308  df-pws 16310  df-sra 19372  df-rgmod 19373  df-dsmm 20276  df-frlm 20291
This theorem is referenced by:  frlmvscaval  20310  uvcresum  20332  matvsca2  20434  matunitlindflem1  33716  matunitlindflem2  33717  zlmodzxzscm  42643  aacllem  43058
  Copyright terms: Public domain W3C validator