Theorem frlmvscafval 20910

Description: Scalar multiplication in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmvscafval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscafval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscafval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmvscafval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscafval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmvscafval.v	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
frlmvscafval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscafval	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Proof of Theorem frlmvscafval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvscafval.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		frlmvscafval.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3		frlmvscafval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	2, 3	frlmrcl 20901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
6		frlmvscafval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	2, 3	frlmpws 20894	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
9	8	fveq2d 6674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
10		frlmvscafval.v	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
11	3	fvexi 6684	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
12		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
13		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
14	12, 13	ressvsca 16651	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
15	11, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
16	9, 10, 15	3eqtr4g 2881	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
17	16	oveqd 7173	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑋))
18		eqid 2821	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
19		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
20		frlmvscafval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
21		rlmvsca 19974	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
22	20, 21	eqtri 2844	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
23		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
24		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
25		fvexd 6685	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
26		frlmvscafval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
27		frlmvscafval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
28		rlmsca 19972	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
29	5, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
30	29	fveq2d 6674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
31	27, 30	syl5eq 2868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
32	26, 31	eleqtrd 2915	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
33	8	fveq2d 6674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
34	3, 33	syl5eq 2868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
35	12, 19	ressbasss 16556	. . . . 5 ⊢ (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
36	34, 35	eqsstrdi 4021	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
37	36, 1	sseldd 3968	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
38	18, 19, 22, 13, 23, 24, 25, 6, 32, 37	pwsvscafval 16767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
39	17, 38	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494  {csn 4567   × cxp 5553  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∘_f cof 7407  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484  ._rcmulr 16566  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569   ↑_s cpws 16720  ringLModcrglmod 19941   freeLMod cfrlm 20890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-prds 16721  df-pws 16723  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-dsmm 20876  df-frlm 20891

This theorem is referenced by:  frlmvscaval  20912  uvcresum  20937  matvsca2  21037  matunitlindflem1  34903  matunitlindflem2  34904  frlmvscadiccat  39165  0prjspnrel  39289  zlmodzxzscm  44425  aacllem  44922