Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matunitlindflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matunitlindflem1 33037
Description: One direction of matunitlindf 33039. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
matunitlindflem1 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))

Proof of Theorem matunitlindflem1
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfld 18677 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
21simplbi 476 . . . 4 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ DivRing)
3 drngring 18675 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Ring)
5 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
65frlmlmod 20012 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
76adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
8 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
9 eldifi 3710 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → 𝐼 ∈ Fin)
10 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
115, 10frlmfibas 20024 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
129, 11sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
13 fvex 6158 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) ∈ V
14 curf 33019 . . . . . . . . . 10 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
1513, 14mp3an3 1410 . . . . . . . . 9 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
16 feq3 5985 . . . . . . . . . 10 (((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → (curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ↔ curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
1716biimpa 501 . . . . . . . . 9 ((((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)) → curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1812, 15, 17syl2an 494 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))) → curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1918anandirs 873 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
20 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
21 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
22 eqid 2621 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
23 eqid 2621 . . . . . . . 8 (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
24 eqid 2621 . . . . . . . 8 (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
25 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))
2620, 21, 22, 23, 24, 25islindf4 20096 . . . . . . 7 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓𝑓 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
277, 8, 19, 26syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓𝑓 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
285frlmsca 20016 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2928oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝑅 freeLMod 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))
3029fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
3112, 30eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
3231adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
33 elmapi 7823 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅))
34 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝑓 Fn 𝐼)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝑓 Fn 𝐼)
3619ffnd 6003 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → curry 𝑀 Fn 𝐼)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → curry 𝑀 Fn 𝐼)
38 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
39 inidm 3800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝐼) = 𝐼
40 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑛))
41 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) = (curry 𝑀𝑛))
4235, 37, 38, 38, 39, 40, 41offval 6857 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑓𝑓 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛))))
43 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
44 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
4544adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
4619ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4746adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
48 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑅) = (.r𝑅)
495, 20, 10, 43, 45, 47, 22, 48frlmvscafval 20028 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛)) = ((𝐼 × {(𝑓𝑛)}) ∘𝑓 (.r𝑅)(curry 𝑀𝑛)))
50 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓𝑛) ∈ V
51 fnconstg 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑛) ∈ V → (𝐼 × {(𝑓𝑛)}) Fn 𝐼)
5250, 51mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝐼 × {(𝑓𝑛)}) Fn 𝐼)
5315ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
54 elmapfn 7824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((curry 𝑀𝑛) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5655adantlll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5756adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5850fvconst2 6423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝐼 → ((𝐼 × {(𝑓𝑛)})‘𝑘) = (𝑓𝑛))
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐼 × {(𝑓𝑛)})‘𝑘) = (𝑓𝑛))
60 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) → 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼))
6160anim2i 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)))
6261ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)))
6362ad4ant23 1294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)))
64 curfv 33021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) ∧ 𝑛𝐼𝑘𝐼) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘))
65643exp1 1280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) → (𝑛𝐼 → (𝑘𝐼 → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘)))))
6665com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) → (𝑛𝐼 → (𝑘𝐼 → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘)))))
6766imp41 618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘))
6863, 67sylanl1 681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘))
6952, 57, 43, 43, 39, 59, 68offval 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐼 × {(𝑓𝑛)}) ∘𝑓 (.r𝑅)(curry 𝑀𝑛)) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
7049, 69eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛)) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
7170mpteq2dva 4704 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛))) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
7242, 71eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑓𝑓 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
7372oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓𝑓 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
74 simplll 797 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
75 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
7644ad4ant23 1294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
77 fovrn 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑛𝐼𝑘𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
7877ad5ant245 1304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
7910, 48ringcl 18482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
8075, 76, 78, 79syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
81 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))
8280, 81fmptd 6340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
8382adantllr 754 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
84 elmapg 7815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
8513, 84mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
8685adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
8712eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8886, 87bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8988ad5ant13 1298 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
9083, 89mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
91 mptexg 6438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V)
9291ralrimivw 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → ∀𝑛𝐼 (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V)
93 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
9493fnmpt 5977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑛𝐼 (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼)
9592, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼)
96 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ V
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ V)
9895, 9, 97fndmfifsupp 8232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9998ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1005, 20, 23, 38, 38, 74, 90, 99frlmgsum 20030 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
10173, 100eqtr2d 2656 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓𝑓 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
10233, 101sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)) → (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓𝑓 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
103 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1045, 103frlm0 20017 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
105104ad4ant13 1289 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)) → (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
106102, 105eqeq12d 2636 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)) → ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓𝑓 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
10728fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
108107sneqd 4160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → {(0g𝑅)} = {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})
109108xpeq2d 5099 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))
110109eqeq2d 2631 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})))
111110ad4ant13 1289 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)) → (𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})))
112106, 111imbi12d 334 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ↔ (((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓𝑓 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
11332, 112raleqbidva 3143 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓𝑓 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
11427, 113bitr4d 271 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
115114notbid 308 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
116 rexanali 2992 . . . 4 (∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})))
117115, 116syl6bbr 278 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
1184, 117sylanl1 681 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
119 fconstfv 6430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐼⟶{(0g𝑅)} ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅)))
120 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) ∈ V
121120fconst2 6424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐼⟶{(0g𝑅)} ↔ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))
122119, 121sylbb1 227 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))
123122ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐼 → (∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})))
124123con3d 148 . . . . . . . . 9 (𝑓 Fn 𝐼 → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅)))
125 df-ne 2791 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) ↔ ¬ (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
126125rexbii 3034 . . . . . . . . . 10 (∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) ↔ ∃𝑖𝐼 ¬ (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
127 rexnal 2989 . . . . . . . . . 10 (∃𝑖𝐼 ¬ (𝑓𝑖) = (0g𝑅) ↔ ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
128126, 127bitri 264 . . . . . . . . 9 (∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) ↔ ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
129124, 128syl6ibr 242 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝐼 → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)))
13034, 129syl 17 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)))
131130adantl 482 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)))
132 neldifsn 4290 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})
133 difss 3715 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼
134 diffi 8136 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ Fin → (𝐼 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
135134ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → (𝐼 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
136 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ∅ → (𝑖𝑦𝑖 ∈ ∅))
137136notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ ∅))
138 sseq1 3605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝐼 ↔ ∅ ⊆ 𝐼))
139137, 138anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ∅ → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼)))
140139anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ∅ → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼))))
141 mpteq1 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = ∅ → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛 ∈ ∅ ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
142 mpt0 5978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ∅ ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = ∅
143141, 142syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = ∅ → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = ∅)
144143oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg ∅))
145103gsum0 17199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 Σg ∅) = (0g𝑅)
146144, 145syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (0g𝑅))
147146oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ∅ → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
148147ifeq1d 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ∅ → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
149148mpt2eq3dv 6674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ∅ → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
150149fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ∅ → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
151150eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ∅ → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
152140, 151imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
153 elequ2 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (𝑖𝑦𝑖𝑥))
154153notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖𝑥))
155 sseq1 3605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐼𝑥𝐼))
156154, 155anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)))
157156anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼))))
158 mpteq1 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
159158oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
160159oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
161160ifeq1d 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
162161mpt2eq3dv 6674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
163162fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
164163eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
165157, 164imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
166 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑖𝑦𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})))
167166notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})))
168 sseq1 3605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦𝐼 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼))
169167, 168anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)))
170169anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼))))
171 mpteq1 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
172171oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
173172oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
174173ifeq1d 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
175174mpt2eq3dv 6674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
176175fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
177176eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
178170, 177imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
179 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑖𝑦𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})))
180179notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})))
181 sseq1 3605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑦𝐼 ↔ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼))
182180, 181anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)))
183182anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼))))
184 mpteq1 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
185184oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
186185oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
187186ifeq1d 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
188187mpt2eq3dv 6674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
189188fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
190189eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
191183, 190imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
192 fnov 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) ↔ 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
19360, 192sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) → 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
194193adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
195 ringgrp 18473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1964, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Grp)
197 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖𝑀𝑘) = (𝑗𝑀𝑘))
198197equcoms 1944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → (𝑖𝑀𝑘) = (𝑗𝑀𝑘))
199198oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑗𝑀𝑘)))
200 simp1l 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Grp)
201 fovrn 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
2022013adant1l 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
203 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (+g𝑅) = (+g𝑅)
20410, 203, 103grplid 17373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
205200, 202, 204syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
206199, 205sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) ∧ 𝑗 = 𝑖) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
207 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) ∧ ¬ 𝑗 = 𝑖) → (𝑗𝑀𝑘) = (𝑗𝑀𝑘))
208206, 207ifeqda 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
209208mpt2eq3dva 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
210196, 209sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
211194, 210eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
212211fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
213212ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
214 elun1 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖𝑥𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}))
215214con3i 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) → ¬ 𝑖𝑥)
216 ssun1 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
217 sstr 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → 𝑥𝐼)
218216, 217mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼𝑥𝐼)
219215, 218anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼))
220219anim2i 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)))
221220adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)))
222 velsn 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ {𝑧} ↔ 𝑖 = 𝑧)
223 elun2 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ {𝑧} → 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}))
224222, 223sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑧𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}))
225224necon3bi 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) → 𝑖𝑧)
226225anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼))
227 ringcmn 18502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
2284, 227syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CMnd)
229228ad7antr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
230 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ Fin)
231218adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → 𝑥𝐼)
232 ssfi 8124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ Fin)
233230, 231, 232syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑥 ∈ Fin)
234233ad5ant13 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑥 ∈ Fin)
235218sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
236235adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
237236ad4ant24 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
2384ad6antr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
2392ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ DivRing)
240 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
241240anim2i 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼)) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
242241anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
243 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (invr𝑅) = (invr𝑅)
24410, 103, 243drnginvrcl 18685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
2452443expa 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
246242, 245sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
247246anasss 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
248239, 247sylanl1 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
249248ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
25044ad5ant25 1303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
251 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
252773expa 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
253252an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
254251, 253sylanl1 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
255238, 250, 254, 79syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
25610, 48ringcl 18482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
257238, 249, 255, 256syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
258257adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
259237, 258syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
260259adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
261 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑧 ∈ V
262261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑧 ∈ V)
263 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ¬ 𝑧𝑥)
264 ssun2 3755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 {𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
265 sstr 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (({𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → {𝑧} ⊆ 𝐼)
266264, 265mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼 → {𝑧} ⊆ 𝐼)
267261snss 4286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧𝐼 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐼)
268266, 267sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼𝑧𝐼)
269268adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → 𝑧𝐼)
2704ad6antr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
2714ad5antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
272248adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
273 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
274273ad4ant24 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
27510, 48ringcl 18482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
276271, 272, 274, 275syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
277276adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
278 fovrn 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
2792783expa 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
280251, 279sylanl1 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
28110, 48ringcl 18482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
282270, 277, 280, 281syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
283269, 282sylanl2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
284283adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
285 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑧 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑧))
286 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛𝑀𝑘) = (𝑧𝑀𝑘))
287285, 286oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) = ((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
288287oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑧 → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
289248ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
290273ad5ant24 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
29110, 48ringass 18485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
292270, 289, 290, 280, 291syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
293292eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
294269, 293sylanl2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
295288, 294sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑧) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
296295adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑧) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
29710, 203, 229, 234, 260, 262, 263, 284, 296gsumunsnd 18278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
298297oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
299 ringabl 18501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
3004, 299syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Abel)
301300ad6antr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
302228ad6antr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
303 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑥 ∈ V
304303a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑥 ∈ V)
305 ssel2 3578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥𝐼𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
306305, 257sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑥𝐼𝑛𝑥)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
307306anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
308 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
309307, 308fmptd 6340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))):𝑥⟶(Base‘𝑅))
310309an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))):𝑥⟶(Base‘𝑅))
311 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V
312311, 308fnmpti 5979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝑥
313312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝑥)
314120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → (0g𝑅) ∈ V)
315313, 232, 314fndmfifsupp 8232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
316315adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
317316ad5ant14 1299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
31810, 103, 302, 304, 310, 317gsumcl 18237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) ∈ (Base‘𝑅))
319218, 318sylanl2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) ∈ (Base‘𝑅))
320268, 282sylanl2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
321 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
322 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → 𝑖𝐼)
323321, 322anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼))
324323adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼))
325 fovrn 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
3263253expa 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
327324, 326sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
32810, 203, 301, 319, 320, 327abl32 18135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
329328adantlrl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
330329adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
331298, 330eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
332331ifeq1d 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))
3333323adant2 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))
334333mpt2eq3dva 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))))
335334fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
336 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
3371simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CRing)
338337ad5antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑅 ∈ CRing)
339 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
340196ad6antr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Grp)
341323adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼))
342341, 326sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
34310, 203grpcl 17351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
344340, 318, 342, 343syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
345231, 344sylanl2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
346251, 269anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼))
347346, 279sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
348 simp-5r 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
349348, 201syl3an1 1356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
350269, 276sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
351 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑖𝐼)
352268ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑧𝐼)
353 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑖𝑧)
354336, 10, 203, 48, 338, 339, 345, 347, 349, 350, 351, 352, 353mdetero 20335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
355354adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
356335, 355eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
357 iftrue 4064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑧 → if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑧𝑀𝑘))
358 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑧 → (𝑗𝑀𝑘) = (𝑧𝑀𝑘))
359357, 358eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑧 → if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
360 iffalse 4067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑗 = 𝑧 → if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
361359, 360pm2.61i 176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘)
362 ifeq2 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
363361, 362mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
364363mpt2eq3ia 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
365364fveq2i 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
366 ifeq2 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
367361, 366mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
368367mpt2eq3ia 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
369368fveq2i 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
370356, 365, 3693eqtr3g 2678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
371226, 370sylanl2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
372371eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
373372biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
374221, 373embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
375374expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧𝑥 → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
376375com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧𝑥 → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
377376adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
378152, 165, 178, 191, 213, 377findcard2s 8145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∖ {𝑖}) ∈ Fin → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
379135, 378mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
380132, 133, 379mpanr12 720 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
381380adantlr 750 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
382 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = 𝐼
383 fconstmpt 5123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅))
384383eqeq2i 2633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅)))
385 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) ∈ V
386385rgenw 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) ∈ V
387 mpteqb 6255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) ∈ V → ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅)) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)))
388386, 387ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅)) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
389384, 388bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
390228ad5antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
391 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝐼 ∈ Fin)
392 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
393311, 392fnmpti 5979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼
394393a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼)
395 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
396120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → (0g𝑅) ∈ V)
397394, 395, 396fndmfifsupp 8232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
398397ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
399 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑖𝐼)
400323, 326sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
401 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑖 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑖))
402 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝑀𝑘) = (𝑖𝑀𝑘))
403401, 402oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) = ((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
404403oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑖 → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))))
405 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Field)
4062, 240anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼)) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
407406anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
408 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (1r𝑅) = (1r𝑅)
40910, 103, 48, 408, 243drnginvrl 18687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
4104093expa 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
411407, 410sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
412411anasss 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
413412oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
414405, 413sylanl1 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
415414adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
4164ad5antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
417248adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
418240ad2ant2lr 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
419418adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
42010, 48ringass 18485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))))
421416, 417, 419, 400, 420syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))))
4224adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
4234223ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
4243253adant1l 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
42510, 48, 408ringlidm 18492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
426423, 424, 425syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
427426ad5ant145 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
428427adantlrr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
429415, 421, 4283eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))) = (𝑖𝑀𝑘))
430404, 429sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑖) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (𝑖𝑀𝑘))
43110, 203, 390, 391, 398, 257, 399, 400, 430gsumdifsnd 18281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
432 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ V
433 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))
434432, 433fnmpti 5979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) Fn 𝐼
435434a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) Fn 𝐼)
436435, 395, 396fndmfifsupp 8232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) finSupp (0g𝑅))
437436ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) finSupp (0g𝑅))
43810, 103, 203, 48, 416, 391, 417, 255, 437gsummulc2 18528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
439431, 438eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
440439adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
441 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)))
442441adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)))
4434ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
44410, 48, 103ringrz 18509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
445443, 248, 444syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
446445ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
447440, 442, 4463eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (0g𝑅))
448447ifeq1d 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))
449448ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
450449ralimdva 2956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅) → ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
451450imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))
452389, 451sylan2b 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))
453452, 382jctil 559 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
454453ralrimivw 2961 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ∀𝑗𝐼 (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
455 mpt2eq123 6667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑗𝐼 (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
456382, 454, 455sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
457456an32s 845 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
458457fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))))
459337ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ CRing)
460 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝐼 ∈ Fin)
461 simpllr 798 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
462461, 201syl3an1 1356 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
463 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑖𝐼)
464336, 10, 103, 459, 460, 462, 463mdetr0 20330 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
465464ad4ant14 1290 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
466381, 458, 4653eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅))
467466rexlimdvaa 3025 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → (∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
468467expimpd 628 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
469131, 468sylan2d 499 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
47033, 469sylan2 491 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
471470rexlimdva 3024 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
4729, 471sylan2 491 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
473118, 472sylbid 230 1 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  wss 3555  c0 3891  ifcif 4058  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673   × cxp 5072   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  𝑓 cof 6848  curry ccur 7336  𝑚 cmap 7802  Fincfn 7899   finSupp cfsupp 8219  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  .rcmulr 15863  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021   Σg cgsu 16022  Grpcgrp 17343  CMndccmn 18114  Abelcabl 18115  1rcur 18422  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469  invrcinvr 18592  DivRingcdr 18668  Fieldcfield 18669  LModclmod 18784   freeLMod cfrlm 20009   LIndF clindf 20062   maDet cmdat 20309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-cur 7338  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-splice 13243  df-reverse 13244  df-s2 13530  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-gim 17622  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-symg 17719  df-pmtr 17783  df-psgn 17832  df-evpm 17833  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-rnghom 18636  df-drng 18670  df-field 18671  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lmhm 18941  df-lbs 18994  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-nzr 19177  df-cnfld 19666  df-zring 19738  df-zrh 19771  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-uvc 20041  df-lindf 20064  df-mat 20133  df-mdet 20310
This theorem is referenced by:  matunitlindf  33039
  Copyright terms: Public domain W3C validator