MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzospliti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzospliti 12324
Description: One direction of splitting a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzospliti ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)))

Proof of Theorem fzospliti
StepHypRef Expression
1 zre 11214 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℝ)
21adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℝ)
3 elfzoelz 12294 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
43adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
54zred 11314 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 lelttric 9995 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐷𝐴𝐴 < 𝐷))
72, 5, 6syl2anc 690 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷𝐴𝐴 < 𝐷))
87orcomd 401 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷𝐷𝐴))
9 elfzole1 12302 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵𝐴)
109adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵𝐴)
1110a1d 25 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷𝐵𝐴))
1211ancrd 574 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐷)))
13 elfzolt2 12303 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
1413adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝐶)
1514a1d 25 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷𝐴𝐴 < 𝐶))
1615ancld 573 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷𝐴 → (𝐷𝐴𝐴 < 𝐶)))
1712, 16orim12d 878 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐷𝐷𝐴) → ((𝐵𝐴𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷𝐴𝐴 < 𝐶))))
188, 17mpd 15 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷𝐴𝐴 < 𝐶)))
19 elfzoel1 12292 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2019adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
21 simpr 475 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
22 elfzo 12296 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ↔ (𝐵𝐴𝐴 < 𝐷)))
234, 20, 21, 22syl3anc 1317 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ↔ (𝐵𝐴𝐴 < 𝐷)))
24 elfzoel2 12293 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
2524adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
26 elfzo 12296 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶) ↔ (𝐷𝐴𝐴 < 𝐶)))
274, 21, 25, 26syl3anc 1317 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶) ↔ (𝐷𝐴𝐴 < 𝐶)))
2823, 27orbi12d 741 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)) ↔ ((𝐵𝐴𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷𝐴𝐴 < 𝐶))))
2918, 28mpbird 245 1 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9791   < clt 9930  cle 9931  cz 11210  ..^cfzo 12289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290
This theorem is referenced by:  fzosplit  12325  fzocatel  12354  ccatass  13170  ccatswrd  13254  revccat  13312  ccatco  13378  dfphi2  15263  prmgaplem7  15545  ccatpfx  40077
  Copyright terms: Public domain W3C validator