MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumadd 18251
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumadd.z 0 = (0g𝐺)
gsumadd.p + = (+g𝐺)
gsumadd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumadd.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumadd.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumadd.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
gsumadd.fn (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumadd.hn (𝜑𝐻 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumadd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumadd
StepHypRef Expression
1 gsumadd.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumadd.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumadd.p . 2 + = (+g𝐺)
4 eqid 2621 . 2 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5 gsumadd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 18136 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
8 gsumadd.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumadd.fn . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
10 gsumadd.hn . 2 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
111submid 17279 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
127, 11syl 17 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
13 ssid 3608 . . 3 𝐵𝐵
141, 4cntzcmn 18173 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐵𝐵) → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
155, 13, 14sylancl 693 . . 3 (𝜑 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
1613, 15syl5sseqr 3638 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵))
17 gsumadd.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
18 gsumadd.h . 2 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
191, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18gsumzadd 18250 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3559   class class class wbr 4618  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855   finSupp cfsupp 8226  Basecbs 15788  +gcplusg 15869  0gc0g 16028   Σg cgsu 16029  Mndcmnd 17222  SubMndcsubmnd 17262  Cntzccntz 17676  CMndccmn 18121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-hash 13065  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-cntz 17678  df-cmn 18123
This theorem is referenced by:  gsummptfsadd  18252  gsumsub  18276  evlslem1  19443  frlmup1  20065  tsmsadd  21869  tdeglem3  23736
  Copyright terms: Public domain W3C validator