Theorem hashbnd 13697

Description: If 𝐴 has size bounded by an integer 𝐵, then 𝐴 is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashbnd	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem hashbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 11907	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		ltpnf 12516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
3		rexr 10687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 10695	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		xrltnle 10708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
6	3, 4, 5	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
7	2, 6	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
8	1, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
9		hashinf 13696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
10	9	breq1d 5076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ +∞ ≤ 𝐵))
11	10	notbid 320	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
12	8, 11	syl5ibrcom 249	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵))
13	12	expdimp 455	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵))
14	13	ancoms 461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵))
15	14	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) ≤ 𝐵 → 𝐴 ∈ Fin))
16	15	3impia 1113	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  Fincfn 8509  ℝcr 10536  +∞cpnf 10672  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675   ≤ cle 10676  ℕ₀cn0 11898  ♯chash 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-hash 13692

This theorem is referenced by:  0ringnnzr  20042  fta1glem2  24760  fta1blem  24762  lgsqrlem4  25925  fusgredgfi  27107  idomsubgmo  39818  pgrple2abl  44433