MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashbnd 12936
Description: If 𝐴 has size bounded by an integer 𝐵, then 𝐴 is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashbnd ((𝐴𝑉𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem hashbnd
StepHypRef Expression
1 nn0re 11144 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
2 ltpnf 11787 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
3 rexr 9937 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11777 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
5 xrltnle 9952 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
63, 4, 5sylancl 692 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
72, 6mpbid 220 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
81, 7syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
9 hashinf 12935 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = +∞)
109breq1d 4583 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ +∞ ≤ 𝐵))
1110notbid 306 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ (#‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
128, 11syl5ibrcom 235 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (#‘𝐴) ≤ 𝐵))
1312expdimp 451 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝑉) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (#‘𝐴) ≤ 𝐵))
1413ancoms 467 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (#‘𝐴) ≤ 𝐵))
1514con4d 112 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ ℕ0) → ((#‘𝐴) ≤ 𝐵𝐴 ∈ Fin))
16153impia 1252 1 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030  wcel 1975   class class class wbr 4573  cfv 5786  Fincfn 7814  cr 9787  +∞cpnf 9923  *cxr 9925   < clt 9926  cle 9927  0cn0 11135  #chash 12930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-hash 12931
This theorem is referenced by:  0ringnnzr  19032  fta1glem2  23643  fta1blem  23645  lgsqrlem4  24787  fiusgraedgfi  25698  idomsubgmo  36594  upgredg  40368  fusgredgfi  40542  pgrple2abl  41938
  Copyright terms: Public domain W3C validator