MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1glem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1glem2 23830
Description: Lemma for fta1g 23831. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1g.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
fta1g.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1g.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1g.z 0 = (0g𝑃)
fta1g.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2 (𝜑𝐹𝐵)
fta1glem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1glem.m = (-g𝑃)
fta1glem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
fta1glem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
fta1glem.6 (𝜑 → ∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) = 𝑁 → (#‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)))
Assertion
Ref Expression
fta1glem2 (𝜑 → (#‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝐹))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐷,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑁   𝑔,𝑂   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐾(𝑔)   (𝑔)   𝑋(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem fta1glem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fta1glem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
2 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
3 fta1glem.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
5 fta1g.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
6 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Base‘𝑅) ∈ V
73, 6eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐾 ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐾 ∈ V)
9 isidom 19223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
109simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
115, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
12 fta1g.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑂 = (eval1𝑅)
13 fta1g.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑃 = (Poly1𝑅)
1412, 13, 2, 3evl1rhm 19615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
16 fta1g.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐵 = (Base‘𝑃)
1716, 4rhmf 18647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
19 fta1g.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐹𝐵)
2018, 19ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑂𝐹) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
212, 3, 4, 5, 8, 20pwselbas 16070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑂𝐹):𝐾𝐾)
2221ffnd 6003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑂𝐹) Fn 𝐾)
23 fniniseg 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
251, 24mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
2625simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
27 fta1glem.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (var1𝑅)
28 fta1glem.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (-g𝑃)
29 fta1glem.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (algSc‘𝑃)
30 fta1glem.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
319simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
32 domnnzr 19214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
345, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
3525simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇𝐾)
36 fta1g.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = (0g𝑅)
37 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∥r𝑃) = (∥r𝑃)
3813, 16, 3, 27, 28, 29, 30, 12, 34, 11, 35, 19, 36, 37facth1 23828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
3926, 38mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺(∥r𝑃)𝐹)
40 nzrring 19180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
4134, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
42 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
43 fta1g.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = ( deg1𝑅)
4413, 16, 3, 27, 28, 29, 30, 12, 34, 11, 35, 42, 43, 36ply1remlem 23826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
4544simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ (Monic1p𝑅))
46 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
4746, 42mon1puc1p 23814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
4841, 45, 47syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
49 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑃) = (.r𝑃)
50 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
5113, 37, 16, 46, 49, 50dvdsq1p 23824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5241, 19, 48, 51syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5339, 52mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))
5453fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐹) = (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5550, 13, 16, 46q1pcl 23819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
5641, 19, 48, 55syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
5713, 16, 42mon1pcl 23808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) → 𝐺𝐵)
5845, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝐵)
59 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r‘(𝑅s 𝐾)) = (.r‘(𝑅s 𝐾))
6016, 49, 59rhmmul 18648 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)))
6115, 56, 58, 60syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)))
6218, 56ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
6318, 58ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂𝐺) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
64 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑅) = (.r𝑅)
652, 4, 5, 8, 62, 63, 64, 59pwsmulrval 16072 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺)))
6654, 61, 653eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐹) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺)))
6766fveq1d 6150 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥))
6867adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥))
692, 3, 4, 5, 8, 62pwselbas 16070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)):𝐾𝐾)
7069ffnd 6003 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
7170adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
722, 3, 4, 5, 8, 63pwselbas 16070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐺):𝐾𝐾)
7372ffnd 6003 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
7473adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
757a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝐾 ∈ V)
76 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
77 fnfvof 6864 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂𝐺) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑥𝐾)) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
7871, 74, 75, 76, 77syl22anc 1324 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
7968, 78eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
8079eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊))
815, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
8281adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ Domn)
8369ffvelrnda 6315 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐾)
8472ffvelrnda 6315 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐾)
853, 64, 36domneq0 19216 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐾) → ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8682, 83, 84, 85syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8780, 86bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8887pm5.32da 672 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊) ↔ (𝑥𝐾 ∧ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
89 andi 910 . . . . . 6 ((𝑥𝐾 ∧ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
9088, 89syl6bb 276 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
91 fniniseg 6294 . . . . . 6 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊)))
9222, 91syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊)))
93 elun 3731 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∨ 𝑥 ∈ {𝑇}))
94 fniniseg 6294 . . . . . . . 8 ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊)))
9570, 94syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊)))
9644simp3d 1073 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇})
9796eleq2d 2684 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑇}))
98 fniniseg 6294 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝐺) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
9973, 98syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
10097, 99bitr3d 270 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑇} ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
10195, 100orbi12d 745 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∨ 𝑥 ∈ {𝑇}) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
10293, 101syl5bb 272 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
10390, 92, 1023bitr4d 300 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ 𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})))
104103eqrdv 2619 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}))
105104fveq2d 6152 . 2 (𝜑 → (#‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) = (#‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})))
106 fvex 6158 . . . . . . . . . 10 (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ V
107106cnvex 7060 . . . . . . . . 9 (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ V
108107imaex 7051 . . . . . . . 8 ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V
109108a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V)
110 fta1glem.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
111 fta1glem.6 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) = 𝑁 → (#‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)))
112 fta1g.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑃)
113 fta1glem.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
11413, 16, 43, 12, 36, 112, 5, 19, 3, 27, 28, 29, 30, 110, 113, 1fta1glem1 23829 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)
115 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝐷𝑔) = (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
116115eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((𝐷𝑔) = 𝑁 ↔ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁))
117 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝑂𝑔) = (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
118117cnveqd 5258 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝑂𝑔) = (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
119118imaeq1d 5424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((𝑂𝑔) “ {𝑊}) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}))
120119fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (#‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) = (#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})))
121120, 115breq12d 4626 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((#‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔) ↔ (#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
122116, 121imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (((𝐷𝑔) = 𝑁 → (#‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)) ↔ ((𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁 → (#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))))
123122rspcv 3291 . . . . . . . . 9 ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 → (∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) = 𝑁 → (#‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)) → ((𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁 → (#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))))
12456, 111, 114, 123syl3c 66 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
125124, 114breqtrd 4639 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ 𝑁)
126 hashbnd 13063 . . . . . . 7 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ 𝑁) → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
127109, 110, 125, 126syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
128 snfi 7982 . . . . . 6 {𝑇} ∈ Fin
129 unfi 8171 . . . . . 6 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑇} ∈ Fin) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin)
130127, 128, 129sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin)
131 hashcl 13087 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin → (#‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℕ0)
132130, 131syl 17 . . . 4 (𝜑 → (#‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℕ0)
133132nn0red 11296 . . 3 (𝜑 → (#‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℝ)
134 hashcl 13087 . . . . . 6 (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
135127, 134syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
136135nn0red 11296 . . . 4 (𝜑 → (#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
137 peano2re 10153 . . . 4 ((#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℝ → ((#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ∈ ℝ)
138136, 137syl 17 . . 3 (𝜑 → ((#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ∈ ℝ)
139 peano2nn0 11277 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
140110, 139syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
141113, 140eqeltrd 2698 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
142141nn0red 11296 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
143 hashun2 13112 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑇} ∈ Fin) → (#‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (#‘{𝑇})))
144127, 128, 143sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → (#‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (#‘{𝑇})))
145 hashsng 13099 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) → (#‘{𝑇}) = 1)
1461, 145syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘{𝑇}) = 1)
147146oveq2d 6620 . . . 4 (𝜑 → ((#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (#‘{𝑇})) = ((#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1))
148144, 147breqtrd 4639 . . 3 (𝜑 → (#‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1))
149110nn0red 11296 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
150 1red 9999 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
151136, 149, 150, 125leadd1dd 10585 . . . 4 (𝜑 → ((#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ≤ (𝑁 + 1))
152151, 113breqtrrd 4641 . . 3 (𝜑 → ((#‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ≤ (𝐷𝐹))
153133, 138, 142, 148, 152letrd 10138 . 2 (𝜑 → (#‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ (𝐷𝐹))
154105, 153eqbrtrd 4635 1 (𝜑 → (#‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cun 3553  {csn 4148   class class class wbr 4613  ccnv 5073  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  Fincfn 7899  cr 9879  1c1 9881   + caddc 9883  cle 10019  0cn0 11236  #chash 13057  Basecbs 15781  .rcmulr 15863  0gc0g 16021  s cpws 16028  -gcsg 17345  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469  rcdsr 18559   RingHom crh 18633  NzRingcnzr 19176  Domncdomn 19199  IDomncidom 19200  algSccascl 19230  var1cv1 19465  Poly1cpl1 19466  eval1ce1 19598   deg1 cdg1 23718  Monic1pcmn1 23789  Unic1pcuc1p 23790  quot1pcq1p 23791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-srg 18427  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-rnghom 18636  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-nzr 19177  df-rlreg 19202  df-domn 19203  df-idom 19204  df-assa 19231  df-asp 19232  df-ascl 19233  df-psr 19275  df-mvr 19276  df-mpl 19277  df-opsr 19279  df-evls 19425  df-evl 19426  df-psr1 19469  df-vr1 19470  df-ply1 19471  df-coe1 19472  df-evl1 19600  df-cnfld 19666  df-mdeg 23719  df-deg1 23720  df-mon1 23794  df-uc1p 23795  df-q1p 23796  df-r1p 23797
This theorem is referenced by:  fta1g  23831
  Copyright terms: Public domain W3C validator