HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsssm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhsssm 28085
Description: The scalar multiplication operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhss.1 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
Assertion
Ref Expression
hhsssm ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD𝑊)

Proof of Theorem hhsssm
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
21smfval 27430 . 2 ( ·𝑠OLD𝑊) = (2nd ‘(1st𝑊))
3 hhss.1 . . . . 5 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
43fveq2i 6181 . . . 4 (1st𝑊) = (1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)
5 opex 4923 . . . . 5 ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
6 normf 27950 . . . . . . 7 norm: ℋ⟶ℝ
7 ax-hilex 27826 . . . . . . 7 ℋ ∈ V
8 fex 6475 . . . . . . 7 ((norm: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → norm ∈ V)
96, 7, 8mp2an 707 . . . . . 6 norm ∈ V
109resex 5431 . . . . 5 (norm𝐻) ∈ V
115, 10op1st 7161 . . . 4 (1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
124, 11eqtri 2642 . . 3 (1st𝑊) = ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
1312fveq2i 6181 . 2 (2nd ‘(1st𝑊)) = (2nd ‘⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
14 hilablo 27987 . . . 4 + ∈ AbelOp
15 resexg 5430 . . . 4 ( + ∈ AbelOp → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
1614, 15ax-mp 5 . . 3 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
17 hvmulex 27838 . . . 4 · ∈ V
1817resex 5431 . . 3 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
1916, 18op2nd 7162 . 2 (2nd ‘⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( · ↾ (ℂ × 𝐻))
202, 13, 193eqtrri 2647 1 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  cop 4174   × cxp 5102  cres 5106  wf 5872  cfv 5876  1st c1st 7151  2nd c2nd 7152  cc 9919  cr 9920  AbelOpcablo 27368   ·𝑠OLD cns 27412  chil 27746   + cva 27747   · csm 27748  normcno 27750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-hilex 27826  ax-hfvadd 27827  ax-hvcom 27828  ax-hvass 27829  ax-hv0cl 27830  ax-hvaddid 27831  ax-hfvmul 27832  ax-hvmulid 27833  ax-hvdistr2 27836  ax-hvmul0 27837  ax-hfi 27906  ax-his1 27909  ax-his3 27911  ax-his4 27912
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-grpo 27317  df-ablo 27369  df-sm 27422  df-hnorm 27795  df-hvsub 27798
This theorem is referenced by:  hhsst  28093  hhsssh2  28097
  Copyright terms: Public domain W3C validator