Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccdifprioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccdifprioo 39171
Description: An open interval is the closed interval without the bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iccdifprioo ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem iccdifprioo
StepHypRef Expression
1 prunioo 12246 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
21eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}))
32difeq1d 3707 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ∖ {𝐴, 𝐵}))
4 difun2 4022 . . . . 5 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ∖ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵})
5 iooinlbub 39152 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅
6 disj3 3995 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ (𝐴(,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}))
75, 6mpbi 220 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵})
84, 7eqtr4i 2646 . . . 4 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵)
93, 8syl6eq 2671 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
1093expa 1262 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
11 difssd 3718 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
12 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
13 xrlenlt 10050 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
1413adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
1512, 14mtbid 314 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ ¬ 𝐵 < 𝐴)
1615notnotrd 128 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
17 icc0 12168 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
1817adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
1916, 18mpbird 247 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
2011, 19sseqtrd 3622 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) ⊆ ∅)
21 ss0 3948 . . . 4 (((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) ⊆ ∅ → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
2220, 21syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
23 simplr 791 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24 simpll 789 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2523, 24, 16xrltled 38968 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
26 ioo0 12145 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
2726adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
2825, 27mpbird 247 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
2922, 28eqtr4d 2658 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
3010, 29pm2.61dan 831 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cdif 3553  cun 3554  cin 3555  wss 3556  c0 3893  {cpr 4152   class class class wbr 4615  (class class class)co 6607  *cxr 10020   < clt 10021  cle 10022  (,)cioo 12120  [,]cicc 12123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-inf 8296  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-q 11736  df-ioo 12124  df-ico 12126  df-icc 12127
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator