MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlenlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlenlt 9951
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than', for extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrlenlt ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrlenlt
StepHypRef Expression
1 df-br 4575 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ )
2 opelxpi 5059 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
3 df-le 9933 . . . . . . 7 ≤ = ((ℝ* × ℝ*) ∖ < )
43eleq2i 2676 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ((ℝ* × ℝ*) ∖ < ))
5 eldif 3546 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ((ℝ* × ℝ*) ∖ < ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
64, 5bitri 262 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
76baib 941 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
82, 7syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
91, 8syl5bb 270 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
10 opelcnvg 5209 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ < ))
11 df-br 4575 . . . 4 (𝐵 < 𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ < )
1210, 11syl6rbbr 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
1312notbid 306 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
149, 13bitr4d 269 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976  cdif 3533  cop 4127   class class class wbr 4574   × cxp 5023  ccnv 5024  *cxr 9926   < clt 9927  cle 9928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pr 4825
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-br 4575  df-opab 4635  df-xp 5031  df-cnv 5033  df-le 9933
This theorem is referenced by:  xrlenltd  9952  xrltnle  9953  xrnltled  9954  lenlt  9964  pnfge  11798  mnfle  11801  xrleloe  11809  xrltlen  11811  xrletri3  11817  xralrple  11866  xleneg  11879  supxr2  11969  supxrbnd1  11976  supxrbnd2  11977  supxrub  11979  supxrleub  11981  supxrbnd  11983  infxrgelb  11990  ixxub  12020  ioon0  12025  iccid  12044  icc0  12047  icoun  12120  icodisj  12121  snunico  12123  ioodisj  12126  ioojoin  12127  supicclub2  12147  hashgt0elex  12999  hashgt12el  13019  hashgt12el2  13020  0ringnnzr  19033  lecldbas  20772  xmetgt0  21911  bldisj  21951  icopnfcld  22310  icombl  23053  ioombl  23054  ioorcl2  23060  vitalilem4  23100  itg2gt0  23247  ply1divmo  23613  ig1peu  23649  radcnvle  23892  psercnlem1  23897  nmlnogt0  26839  xgepnf  28707  xlemnf  28708  xrlelttric  28709  xrsupssd  28717  xrge0infss  28718  joiniooico  28729  xeqlelt  28731  iocinif  28736  esumsnf  29256  esum2d  29285  oms0  29489  omssubadd  29492  relowlpssretop  32188  mblfinlem3  32418  mblfinlem4  32419  ismblfin  32420  asindmre  32465  ioounsn  36614  iocmbl  36617  supxrgere  38291  snunioo2  38379  iccdifprioo  38390  iccpartnel  39778
  Copyright terms: Public domain W3C validator