Theorem idnghm 22594

Description: The identity operator is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
idnghm.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
idnghm	⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))

Proof of Theorem idnghm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (𝑆 normOp 𝑆) = (𝑆 normOp 𝑆)
2		idnghm.2	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
4	1, 2, 3	nmoid 22593	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g‘𝑆)} ⊊ 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = 1)
5		1re 10077	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	syl6eqel 2738	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g‘𝑆)} ⊊ 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
7		eleq2 2719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(0g‘𝑆)} = 𝑉 → (𝑥 ∈ {(0g‘𝑆)} ↔ 𝑥 ∈ 𝑉))
8	7	biimpar 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (({(0g‘𝑆)} = 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝑆)})
9		elsni 4227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝑆)} → 𝑥 = (0g‘𝑆))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (({(0g‘𝑆)} = 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 = (0g‘𝑆))
11	10	mpteq2dva 4777	. . . . . . 7 ⊢ ({(0g‘𝑆)} = 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (0g‘𝑆)))
12		mptresid 5491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 𝑥) = ( I ↾ 𝑉)
13	12	eqcomi 2660	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝑉) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 𝑥)
14		fconstmpt 5197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 × {(0g‘𝑆)}) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (0g‘𝑆))
15	11, 13, 14	3eqtr4g 2710	. . . . . 6 ⊢ ({(0g‘𝑆)} = 𝑉 → ( I ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g‘𝑆)}))
16	15	fveq2d 6233	. . . . 5 ⊢ ({(0g‘𝑆)} = 𝑉 → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g‘𝑆)})))
17	1, 2, 3	nmo0 22586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g‘𝑆)})) = 0)
18	17	anidms 678	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g‘𝑆)})) = 0)
19	16, 18	sylan9eqr 2707	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g‘𝑆)} = 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = 0)
20		0re 10078	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
21	19, 20	syl6eqel 2738	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g‘𝑆)} = 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
22		ngpgrp 22450	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
23	2, 3	grpidcl 17497	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
25	24	snssd 4372	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → {(0g‘𝑆)} ⊆ 𝑉)
26		sspss 3739	. . . 4 ⊢ ({(0g‘𝑆)} ⊆ 𝑉 ↔ ({(0g‘𝑆)} ⊊ 𝑉 ∨ {(0g‘𝑆)} = 𝑉))
27	25, 26	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ({(0g‘𝑆)} ⊊ 𝑉 ∨ {(0g‘𝑆)} = 𝑉))
28	6, 21, 27	mpjaodan 844	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
29		id 22	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ NrmGrp)
30	2	idghm 17722	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
31	22, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
32	1	isnghm2 22575	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
33	29, 31, 32	mpd3an23 1466	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
34	28, 33	mpbird 247	1 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607   ⊊ wpss 3608  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   I cid 5052   × cxp 5141   ↾ cres 5145  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  Basecbs 15904  0_gc0g 16147  Grpcgrp 17469   GrpHom cghm 17704  NrmGrpcngp 22429   normOp cnmo 22556   NGHom cnghm 22557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-ghm 17705  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nmo 22559  df-nghm 22560

This theorem is referenced by:  idnmhm  22605