MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmo0 22449
Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmo0.3 0 = (0g𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmo0 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)

Proof of Theorem nmo0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmo0.1 . . 3 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmo0.2 . . 3 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2621 . . 3 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4 eqid 2621 . . 3 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
5 eqid 2621 . . 3 (0g𝑆) = (0g𝑆)
6 simpl 473 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
7 simpr 477 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
8 ngpgrp 22313 . . . 4 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
9 ngpgrp 22313 . . . 4 (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
10 nmo0.3 . . . . 5 0 = (0g𝑇)
1110, 20ghm 17595 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
128, 9, 11syl2an 494 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13 0red 9985 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ∈ ℝ)
14 0le0 11054 . . . 4 0 ≤ 0
1514a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ≤ 0)
16 fvex 6158 . . . . . . . . 9 (0g𝑇) ∈ V
1710, 16eqeltri 2694 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1817fvconst2 6423 . . . . . . 7 (𝑥𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
1918ad2antrl 763 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2019fveq2d 6152 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = ((norm‘𝑇)‘ 0 ))
214, 10nm0 22343 . . . . . 6 (𝑇 ∈ NrmGrp → ((norm‘𝑇)‘ 0 ) = 0)
2221ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘ 0 ) = 0)
2320, 22eqtrd 2655 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = 0)
242, 3nmcl 22330 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
2524ad2ant2r 782 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
2625recnd 10012 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
2726mul02d 10178 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
2814, 27syl5breqr 4651 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 0 ≤ (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
2923, 28eqbrtrd 4635 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) ≤ (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 15, 29nmolb2d 22432 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0)
311nmoge0 22435 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))
3212, 31mpd3an3 1422 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))
331nmocl 22434 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ*)
3412, 33mpd3an3 1422 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ*)
35 0xr 10030 . . 3 0 ∈ ℝ*
36 xrletri3 11929 . . 3 (((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0 ↔ ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))))
3734, 35, 36sylancl 693 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0 ↔ ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))))
3830, 32, 37mpbir2and 956 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  {csn 4148   class class class wbr 4613   × cxp 5072  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880   · cmul 9885  *cxr 10017  cle 10019  Basecbs 15781  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343   GrpHom cghm 17578  normcnm 22291  NrmGrpcngp 22292   normOp cnmo 22419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12123  df-0g 16023  df-topgen 16025  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-grp 17346  df-ghm 17579  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-xms 22035  df-ms 22036  df-nm 22297  df-ngp 22298  df-nmo 22422
This theorem is referenced by:  nmoeq0  22450  0nghm  22455  idnghm  22457
  Copyright terms: Public domain W3C validator