Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jumpncnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jumpncnp 39874
 Description: Jump discontinuity or discontinuity of the first kind: if the left and the right limit don't match, the function is discontinuous at the point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
jumpncnp.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
jumpncnp.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
jumpncnp.3 𝐽 = (topGen‘ran (,))
jumpncnp.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
jumpncnp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
jumpncnp.lpt1 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
jumpncnp.lpt2 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
jumpncnp.8 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
jumpncnp.9 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
jumpncnp.lner (𝜑𝐿𝑅)
Assertion
Ref Expression
jumpncnp (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵))

Proof of Theorem jumpncnp
StepHypRef Expression
1 jumpncnp.k . . . . 5 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2 jumpncnp.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 jumpncnp.3 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
4 jumpncnp.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 jumpncnp.lpt1 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
6 jumpncnp.lpt2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
7 jumpncnp.8 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
8 jumpncnp.9 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
9 jumpncnp.lner . . . . 5 (𝜑𝐿𝑅)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9limclner 39683 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ∅)
11 ne0i 3913 . . . . 5 ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅)
1211necon2bi 2821 . . . 4 ((𝐹 lim 𝐵) = ∅ → ¬ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1310, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1413intnand 961 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
15 ax-resscn 9978 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
16 jumpncnp.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
17 eqid 2620 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1817tgioo2 22587 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
193, 18eqtri 2642 . . . 4 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2017, 19cnplimc 23632 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
2115, 16, 20sylancr 694 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
2214, 21mtbird 315 1 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791   ∩ cin 3566   ⊆ wss 3567  ∅c0 3907  ran crn 5105   ↾ cres 5106  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  ℂcc 9919  ℝcr 9920  +∞cpnf 10056  -∞cmnf 10057  (,)cioo 12160   ↾t crest 16062  TopOpenctopn 16063  topGenctg 16079  ℂfldccnfld 19727  limPtclp 20919   CnP ccnp 21010   limℂ climc 23607 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-fz 12312  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-rest 16064  df-topn 16065  df-topgen 16085  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-cnp 21013  df-xms 22106  df-ms 22107  df-limc 23611 This theorem is referenced by:  fouriersw  40211
 Copyright terms: Public domain W3C validator