MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgioo2 22514
Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tgioo2.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
tgioo2 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)

Proof of Theorem tgioo2
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . 2 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2 cnxmet 22486 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 ax-resscn 9937 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
4 tgioo2.1 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
54cnfldtopn 22495 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6 eqid 2621 . . . 4 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
71, 5, 6metrest 22239 . . 3 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐽t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
82, 3, 7mp2an 707 . 2 (𝐽t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
91, 8tgioo 22507 1 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555   × cxp 5072  ran crn 5075  cres 5076  ccom 5078  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  cmin 10210  (,)cioo 12117  abscabs 13908  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  topGenctg 16019  ∞Metcxmt 19650  MetOpencmopn 19655  fldccnfld 19665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623
This theorem is referenced by:  rerest  22515  tgioo3  22516  zcld2  22526  metdcn  22551  ngnmcncn  22556  metdscn2  22568  abscncfALT  22631  cnrehmeo  22660  rellycmp  22664  evth  22666  evth2  22667  lebnumlem2  22669  resscdrg  23062  retopn  23075  cncombf  23331  cnmbf  23332  dvcjbr  23618  rolle  23657  cmvth  23658  mvth  23659  dvlip  23660  dvlipcn  23661  dvlip2  23662  c1liplem1  23663  dvgt0lem1  23669  dvle  23674  dvivthlem1  23675  dvne0  23678  lhop1lem  23680  lhop2  23682  lhop  23683  dvcnvrelem1  23684  dvcnvrelem2  23685  dvcnvre  23686  dvcvx  23687  dvfsumle  23688  dvfsumabs  23690  dvfsumlem2  23694  ftc1  23709  ftc1cn  23710  ftc2  23711  ftc2ditglem  23712  itgparts  23714  itgsubstlem  23715  taylthlem2  24032  efcvx  24107  pige3  24173  dvloglem  24294  logdmopn  24295  advlog  24300  advlogexp  24301  logccv  24309  loglesqrt  24399  lgamgulmlem2  24656  ftalem3  24701  log2sumbnd  25133  nmcnc  27397  ipasslem7  27537  rmulccn  29753  raddcn  29754  knoppcnlem10  32131  knoppcnlem11  32132  broucube  33072  ftc1cnnc  33113  ftc2nc  33123  dvasin  33125  dvacos  33126  dvreasin  33127  dvreacos  33128  areacirclem1  33129  areacirc  33134  itgpowd  37278  lhe4.4ex1a  38007  refsumcn  38669  climreeq  39246  limcresiooub  39275  limcresioolb  39276  lptioo2cn  39278  lptioo1cn  39279  limclner  39284  cncfiooicclem1  39407  jumpncnp  39412  fperdvper  39436  dvmptresicc  39437  dvresioo  39439  dvbdfbdioolem1  39446  itgsin0pilem1  39469  itgsinexplem1  39473  itgcoscmulx  39489  itgsubsticclem  39495  itgiccshift  39500  itgperiod  39501  itgsbtaddcnst  39502  dirkeritg  39623  dirkercncflem2  39625  dirkercncflem3  39626  dirkercncflem4  39627  dirkercncf  39628  fourierdlem28  39656  fourierdlem32  39660  fourierdlem33  39661  fourierdlem39  39667  fourierdlem56  39683  fourierdlem57  39684  fourierdlem58  39685  fourierdlem59  39686  fourierdlem60  39687  fourierdlem61  39688  fourierdlem62  39689  fourierdlem68  39695  fourierdlem72  39699  fourierdlem73  39700  fourierdlem74  39701  fourierdlem75  39702  fourierdlem80  39707  fourierdlem94  39721  fourierdlem103  39730  fourierdlem104  39731  fourierdlem113  39740  fouriercnp  39747  fouriersw  39752  fouriercn  39753  etransclem2  39757  etransclem23  39778  etransclem35  39790  etransclem38  39793  etransclem39  39794  etransclem44  39799  etransclem45  39800  etransclem46  39801  etransclem47  39802
  Copyright terms: Public domain W3C validator