MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgioo2 22728
Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tgioo2.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
tgioo2 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)

Proof of Theorem tgioo2
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . 2 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2 cnxmet 22698 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 ax-resscn 10106 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
4 tgioo2.1 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
54cnfldtopn 22707 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6 eqid 2724 . . . 4 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
71, 5, 6metrest 22451 . . 3 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐽t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
82, 3, 7mp2an 710 . 2 (𝐽t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
91, 8tgioo 22721 1 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1596  wcel 2103  wss 3680   × cxp 5216  ran crn 5219  cres 5220  ccom 5222  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  cmin 10379  (,)cioo 12289  abscabs 14094  t crest 16204  TopOpenctopn 16205  topGenctg 16221  ∞Metcxmt 19854  MetOpencmopn 19859  fldccnfld 19869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-fz 12441  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-rest 16206  df-topn 16207  df-topgen 16227  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-bases 20873
This theorem is referenced by:  rerest  22729  tgioo3  22730  zcld2  22740  metdcn  22765  ngnmcncn  22770  metdscn2  22782  abscncfALT  22845  cnrehmeo  22874  rellycmp  22878  evth  22880  evth2  22881  lebnumlem2  22883  resscdrg  23275  retopn  23288  cncombf  23545  cnmbf  23546  dvcjbr  23832  rolle  23873  cmvth  23874  mvth  23875  dvlip  23876  dvlipcn  23877  dvlip2  23878  c1liplem1  23879  dvgt0lem1  23885  dvle  23890  dvivthlem1  23891  dvne0  23894  lhop1lem  23896  lhop2  23898  lhop  23899  dvcnvrelem1  23900  dvcnvrelem2  23901  dvcnvre  23902  dvcvx  23903  dvfsumle  23904  dvfsumabs  23906  dvfsumlem2  23910  ftc1  23925  ftc1cn  23926  ftc2  23927  ftc2ditglem  23928  itgparts  23930  itgsubstlem  23931  taylthlem2  24248  efcvx  24323  pige3  24389  dvloglem  24514  logdmopn  24515  advlog  24520  advlogexp  24521  logccv  24529  loglesqrt  24619  lgamgulmlem2  24876  ftalem3  24921  log2sumbnd  25353  nmcnc  27781  ipasslem7  27921  rmulccn  30204  raddcn  30205  ftc2re  30906  knoppcnlem10  32719  knoppcnlem11  32720  broucube  33675  ftc1cnnc  33716  ftc2nc  33726  dvasin  33728  dvacos  33729  dvreasin  33730  dvreacos  33731  areacirclem1  33732  areacirc  33737  itgpowd  38219  lhe4.4ex1a  38947  refsumcn  39605  xrtgcntopre  40124  tgioo4  40220  climreeq  40265  limcresiooub  40294  limcresioolb  40295  lptioo2cn  40297  lptioo1cn  40298  limclner  40303  cncfiooicclem1  40526  jumpncnp  40531  fperdvper  40553  dvmptresicc  40554  dvresioo  40556  dvbdfbdioolem1  40563  itgsin0pilem1  40585  itgsinexplem1  40589  itgcoscmulx  40605  itgsubsticclem  40611  itgiccshift  40616  itgperiod  40617  itgsbtaddcnst  40618  dirkeritg  40739  dirkercncflem2  40741  dirkercncflem3  40742  dirkercncflem4  40743  dirkercncf  40744  fourierdlem28  40772  fourierdlem32  40776  fourierdlem33  40777  fourierdlem39  40783  fourierdlem56  40799  fourierdlem57  40800  fourierdlem58  40801  fourierdlem59  40802  fourierdlem60  40803  fourierdlem61  40804  fourierdlem62  40805  fourierdlem68  40811  fourierdlem72  40815  fourierdlem73  40816  fourierdlem74  40817  fourierdlem75  40818  fourierdlem80  40823  fourierdlem94  40837  fourierdlem103  40846  fourierdlem104  40847  fourierdlem113  40856  fouriercnp  40863  fouriersw  40868  fouriercn  40869  etransclem2  40873  etransclem23  40894  etransclem35  40906  etransclem38  40909  etransclem39  40910  etransclem44  40915  etransclem45  40916  etransclem46  40917  etransclem47  40918
  Copyright terms: Public domain W3C validator