Theorem lbslsat 31036

Description: A nonzero vector 𝑋 is a basis of a line spanned by the singleton 𝑋. Spans of nonzero singletons are sometimes called "atoms", see df-lsatoms 36146 and for example lsatlspsn 36163. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslsat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbslsat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbslsat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lbslsat.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
lbslsat	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))

Proof of Theorem lbslsat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 19871	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
3		snssi 4734	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
4	3	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
5		lbslsat.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7		lbslsat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	5, 6, 7	lspcl 19741	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	2, 4, 8	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		lbslsat.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))
11	10, 6	lsslvec 19872	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 ∈ LVec)
12	9, 11	syldan 593	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LVec)
13	12	3adant3 1127	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ LVec)
14	5, 7	lspssid 19750	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
15	2, 4, 14	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
16	5, 7	lspssv 19748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
17	2, 4, 16	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
18	10, 5	ressbas2 16548	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉 → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
20	15, 19	sseqtrd 4000	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
21	20	3adant3 1127	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
22	2	3adant3 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
23	9	3adant3 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	15	3adant3 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
25		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑌) = (LSpan‘𝑌)
26	10, 7, 25, 6	lsslsp 19780	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) = ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}))
27	22, 23, 24, 26	syl3anc 1366	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}))
28	19	3adant3 1127	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
29	27, 28	eqtr3d 2857	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
30		difid 4323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
31	30	fveq2i 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅)
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅))
33	32	eleq2d 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅)))
34	33	biimpa 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅))
35		lveclmod 19871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
36		eqid 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
37	36, 25	lsp0 19774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
38	12, 35, 37	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
39	38	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
40	34, 39	eleqtrd 2914	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑌)})
41		elsni 4577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ {(0g‘𝑌)} → 𝑋 = (0g‘𝑌))
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = (0g‘𝑌))
43		lmodgrp 19634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
44		grpmnd 18103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
45	2, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Mnd)
46		lbslsat.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
47	46, 5, 7	0ellsp 30953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
48	2, 4, 47	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
49	10, 5, 46	ress0g 17932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉) → 0 = (0g‘𝑌))
50	45, 48, 17, 49	syl3anc 1366	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 = (0g‘𝑌))
51	50	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 0 = (0g‘𝑌))
52	42, 51	eqtr4d 2858	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = 0 )
53	52	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) → 𝑋 = 0 ))
54	53	necon3ad 3028	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
55	54	3impia 1112	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
56		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
57		sneq 4570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
58	57	difeq2d 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
59	58	fveq2d 6667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
60	56, 59	eleq12d 2906	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
61	60	notbid 320	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
62	61	ralsng 4606	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
63	62	3ad2ant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
64	55, 63	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
65		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
66		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝑌) = (LBasis‘𝑌)
67	65, 66, 25	islbs2 19919	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌) ↔ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
68	67	biimpar 480	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
69	13, 21, 29, 64, 68	syl13anc 1367	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015  ∀wral 3137   ∖ cdif 3926   ⊆ wss 3929  ∅c0 4284  {csn 4560  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16476   ↾_s cress 16477  0_gc0g 16706  Mndcmnd 17904  Grpcgrp 18096  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736  LBasisclbs 19839  LVecclvec 19867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-tpos 7885  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-0g 16708  df-mgm 17845  df-sgrp 17894  df-mnd 17905  df-grp 18099  df-minusg 18100  df-sbg 18101  df-subg 18269  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19366  df-dvdsr 19384  df-unit 19385  df-invr 19415  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lbs 19840  df-lvec 19868

This theorem is referenced by:  lsatdim  31037