Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrscss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrscss 34204
Description: The kernel of a scalar product of a functional includes the kernel of the functional. (The inclusion is proper for the zero product and equality otherwise.) (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t · = (.r𝐷)
lkrsc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g (𝜑𝐺𝐹)
lkrsc.r (𝜑𝑅𝐾)
Assertion
Ref Expression
lkrscss (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))

Proof of Theorem lkrscss
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lkrsc.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3 lkrsc.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑊)
4 lkrsc.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 19087 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lkrsc.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
81, 2, 3, 6, 7lkrssv 34202 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
9 lkrsc.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
10 lkrsc.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐷)
11 lkrsc.t . . . . . . . 8 · = (.r𝐷)
12 eqid 2620 . . . . . . . 8 (0g𝐷) = (0g𝐷)
131, 9, 2, 10, 11, 12, 6, 7lfl0sc 34188 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
1413fveq2d 6182 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))) = (𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})))
15 eqid 2620 . . . . . . 7 (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})
169, 12, 1, 2lfl0f 34175 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∈ 𝐹)
176, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∈ 𝐹)
189, 12, 1, 2, 3lkr0f 34200 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∈ 𝐹) → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
196, 17, 18syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2015, 19mpbiri 248 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉)
2114, 20eqtr2d 2655 . . . . 5 (𝜑𝑉 = (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
228, 21sseqtrd 3633 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2322adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
24 sneq 4178 . . . . . . 7 (𝑅 = (0g𝐷) → {𝑅} = {(0g𝐷)})
2524xpeq2d 5129 . . . . . 6 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝑉 × {𝑅}) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
2625oveq2d 6651 . . . . 5 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2726fveq2d 6182 . . . 4 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2827adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2923, 28sseqtr4d 3634 . 2 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))
304adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
317adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝐺𝐹)
32 lkrsc.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝐾)
3332adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑅𝐾)
34 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑅 ≠ (0g𝐷))
351, 9, 10, 11, 2, 3, 30, 31, 33, 12, 34lkrsc 34203 . . 3 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))
36 eqimss2 3650 . . 3 ((𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))
3735, 36syl 17 . 2 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))
3829, 37pm2.61dane 2878 1 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wss 3567  {csn 4168   × cxp 5102  cfv 5876  (class class class)co 6635  𝑓 cof 6880  Basecbs 15838  .rcmulr 15923  Scalarcsca 15925  0gc0g 16081  LModclmod 18844  LVecclvec 19083  LFnlclfn 34163  LKerclk 34191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-drng 18730  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lvec 19084  df-lfl 34164  df-lkr 34192
This theorem is referenced by:  lfl1dim  34227  lfl1dim2N  34228  lkrss  34274
  Copyright terms: Public domain W3C validator