Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnrfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnrfg 37191
Description: Finitely-generated modules over a Noetherian ring, being homomorphic images of free modules, are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lnrfg.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
lnrfg ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) → 𝑀 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnrfg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (𝑆 freeLMod 𝑎) = (𝑆 freeLMod 𝑎)
2 eqid 2621 . . . 4 (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎))
3 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
4 eqid 2621 . . . 4 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
5 eqid 2621 . . . 4 (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏𝑓 ( ·𝑠𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏𝑓 ( ·𝑠𝑀)( I ↾ 𝑎))))
6 fglmod 37144 . . . . 5 (𝑀 ∈ LFinGen → 𝑀 ∈ LMod)
76ad3antrrr 765 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑀 ∈ LMod)
8 vex 3189 . . . . 5 𝑎 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑎 ∈ V)
10 lnrfg.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
1110a1i 11 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑆 = (Scalar‘𝑀))
12 f1oi 6133 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝑎):𝑎1-1-onto𝑎
13 f1of 6096 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝑎):𝑎1-1-onto𝑎 → ( I ↾ 𝑎):𝑎𝑎)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 ( I ↾ 𝑎):𝑎𝑎
15 elpwi 4142 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑀))
16 fss 6015 . . . . . 6 ((( I ↾ 𝑎):𝑎𝑎𝑎 ⊆ (Base‘𝑀)) → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶(Base‘𝑀))
1714, 15, 16sylancr 694 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶(Base‘𝑀))
1817ad2antlr 762 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶(Base‘𝑀))
191, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 18frlmup1 20059 . . 3 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏𝑓 ( ·𝑠𝑀)( I ↾ 𝑎)))) ∈ ((𝑆 freeLMod 𝑎) LMHom 𝑀))
20 simpllr 798 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑆 ∈ LNoeR)
21 simprl 793 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑎 ∈ Fin)
221lnrfrlm 37190 . . . 4 ((𝑆 ∈ LNoeR ∧ 𝑎 ∈ Fin) → (𝑆 freeLMod 𝑎) ∈ LNoeM)
2320, 21, 22syl2anc 692 . . 3 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → (𝑆 freeLMod 𝑎) ∈ LNoeM)
24 eqid 2621 . . . . 5 (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
251, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 18, 24frlmup3 20061 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ran (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏𝑓 ( ·𝑠𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = ((LSpan‘𝑀)‘ran ( I ↾ 𝑎)))
26 rnresi 5440 . . . . . 6 ran ( I ↾ 𝑎) = 𝑎
2726fveq2i 6153 . . . . 5 ((LSpan‘𝑀)‘ran ( I ↾ 𝑎)) = ((LSpan‘𝑀)‘𝑎)
28 simprr 795 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))
2927, 28syl5eq 2667 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ((LSpan‘𝑀)‘ran ( I ↾ 𝑎)) = (Base‘𝑀))
3025, 29eqtrd 2655 . . 3 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ran (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏𝑓 ( ·𝑠𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = (Base‘𝑀))
313lnmepi 37156 . . 3 (((𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏𝑓 ( ·𝑠𝑀)( I ↾ 𝑎)))) ∈ ((𝑆 freeLMod 𝑎) LMHom 𝑀) ∧ (𝑆 freeLMod 𝑎) ∈ LNoeM ∧ ran (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏𝑓 ( ·𝑠𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = (Base‘𝑀)) → 𝑀 ∈ LNoeM)
3219, 23, 30, 31syl3anc 1323 . 2 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑀 ∈ LNoeM)
333, 24islmodfg 37140 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → (𝑀 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))))
346, 33syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ LFinGen → (𝑀 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))))
3534ibi 256 . . 3 (𝑀 ∈ LFinGen → ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀)))
3635adantr 481 . 2 ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀)))
3732, 36r19.29a 3071 1 ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) → 𝑀 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  Vcvv 3186  wss 3556  𝒫 cpw 4132  cmpt 4675   I cid 4986  ran crn 5077  cres 5078  wf 5845  1-1-ontowf1o 5848  cfv 5849  (class class class)co 6607  𝑓 cof 6851  Fincfn 7902  Basecbs 15784  Scalarcsca 15868   ·𝑠 cvsca 15869   Σg cgsu 16025  LModclmod 18787  LSpanclspn 18893   LMHom clmhm 18941   freeLMod cfrlm 20012  LFinGenclfig 37138  LNoeMclnm 37146  LNoeRclnr 37181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-sup 8295  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-hash 13061  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-hom 15890  df-cco 15891  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-prds 16032  df-pws 16034  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-mhm 17259  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-mulg 17465  df-subg 17515  df-ghm 17582  df-cntz 17674  df-lsm 17975  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-subrg 18702  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-lsp 18894  df-lmhm 18944  df-lmim 18945  df-lmic 18946  df-lbs 18997  df-sra 19094  df-rgmod 19095  df-nzr 19180  df-dsmm 19998  df-frlm 20013  df-uvc 20044  df-lfig 37139  df-lnm 37147  df-lnr 37182
This theorem is referenced by:  lnrfgtr  37192
  Copyright terms: Public domain W3C validator