Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvatlem 33855
Description: Lemma for lsatcvat 33856. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0g𝑊)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcvat.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcvat.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcvat.n (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
lsatcvat.l (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
lsatcvat.m (𝜑 → ¬ 𝑄𝑈)
Assertion
Ref Expression
lsatcvatlem (𝜑𝑈𝐴)

Proof of Theorem lsatcvatlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lsatcvat.o . . 3 0 = (0g𝑊)
3 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4 lsatcvat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 19046 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lsatcvat.u . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
8 lsatcvat.n . . 3 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
91, 2, 3, 6, 7, 8lssatomic 33817 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 𝑥𝑈)
10 eqid 2621 . . . . 5 ( ⋖L𝑊) = ( ⋖L𝑊)
1143ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
1263ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
13 simp2 1060 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝐴)
141, 3, 12, 13lsatlssel 33803 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝑆)
15 lsatcvat.q . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝐴)
161, 3, 6, 15lsatlssel 33803 . . . . . . 7 (𝜑𝑄𝑆)
17163ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄𝑆)
18 lsatcvat.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑊)
191, 18lsmcl 19023 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄𝑆𝑥𝑆) → (𝑄 𝑥) ∈ 𝑆)
2012, 17, 14, 19syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑄 𝑥) ∈ 𝑆)
2173ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈𝑆)
22 lsatcvat.m . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑄𝑈)
23223ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → ¬ 𝑄𝑈)
24 sseq1 3611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑄 → (𝑥𝑈𝑄𝑈))
2524biimpcd 239 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑈 → (𝑥 = 𝑄𝑄𝑈))
2625necon3bd 2804 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑈 → (¬ 𝑄𝑈𝑥𝑄))
27263ad2ant3 1082 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (¬ 𝑄𝑈𝑥𝑄))
2823, 27mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝑄)
29153ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄𝐴)
302, 3, 11, 13, 29lsatnem0 33851 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑥𝑄 ↔ (𝑥𝑄) = { 0 }))
3128, 30mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑥𝑄) = { 0 })
321, 18, 2, 3, 10, 11, 14, 29lcvp 33846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → ((𝑥𝑄) = { 0 } ↔ 𝑥( ⋖L𝑊)(𝑥 𝑄)))
3331, 32mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥( ⋖L𝑊)(𝑥 𝑄))
34 lmodabl 18850 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
3512, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ Abel)
361lsssssubg 18898 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3712, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3837, 14sseldd 3589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3937, 17sseldd 3589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
4018lsmcom 18201 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 𝑄) = (𝑄 𝑥))
4135, 38, 39, 40syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑥 𝑄) = (𝑄 𝑥))
4233, 41breqtrd 4649 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥( ⋖L𝑊)(𝑄 𝑥))
43 simp3 1061 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
44 lsatcvat.l . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
45443ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
4618lsmub1 18011 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥))
4739, 38, 46syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥))
48 lsatcvat.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐴)
49483ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅𝐴)
5044pssssd 3688 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑄 𝑅))
51503ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑄 𝑅))
5243, 51sstrd 3598 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥 ⊆ (𝑄 𝑅))
5318, 3, 11, 13, 49, 29, 52, 28lsatexch1 33852 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑥))
541, 3, 6, 48lsatlssel 33803 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅𝑆)
55543ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅𝑆)
5637, 55sseldd 3589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5737, 20sseldd 3589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑄 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5818lsmlub 18018 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑄 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑥)) ↔ (𝑄 𝑅) ⊆ (𝑄 𝑥)))
5939, 56, 57, 58syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑥)) ↔ (𝑄 𝑅) ⊆ (𝑄 𝑥)))
6047, 53, 59mpbi2and 955 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑄 𝑅) ⊆ (𝑄 𝑥))
6145, 60psssstrd 3700 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑥))
621, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 43, 61lcvnbtwn3 33834 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 = 𝑥)
6362, 13eqeltrd 2698 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈𝐴)
6463rexlimdv3a 3028 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 𝑥𝑈𝑈𝐴))
659, 64mpd 15 1 (𝜑𝑈𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2909  cin 3559  wss 3560  wpss 3561  {csn 4155   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  0gc0g 16040  SubGrpcsubg 17528  LSSumclsm 17989  Abelcabl 18134  LModclmod 18803  LSubSpclss 18872  LVecclvec 19042  LSAtomsclsa 33780  L clcv 33824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-0g 16042  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-subg 17531  df-cntz 17690  df-oppg 17716  df-lsm 17991  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-drng 18689  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lsp 18912  df-lvec 19043  df-lsatoms 33782  df-lcv 33825
This theorem is referenced by:  lsatcvat  33856
  Copyright terms: Public domain W3C validator