MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lswccatn0lsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lswccatn0lsw 13328
Description: The last symbol of a word concatenated with a nonempty word is the last symbol of the nonempty word. (Contributed by AV, 22-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
lswccatn0lsw ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ( lastS ‘𝐵))

Proof of Theorem lswccatn0lsw
StepHypRef Expression
1 ovex 6643 . . . 4 (𝐴 ++ 𝐵) ∈ V
2 lsw 13306 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ V → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
31, 2mp1i 13 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
4 ccatlen 13315 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (#‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
54oveq1d 6630 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1))
653adant3 1079 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1))
7 lencl 13279 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
87nn0zd 11440 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
983ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
10 lennncl 13280 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
11103adant1 1077 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
12 simpl 473 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
13 nnz 11359 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐵) ∈ ℕ → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
1413adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
1512, 14zaddcld 11446 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℤ)
16 zre 11341 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
17 nnrp 11802 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐵) ∈ ℕ → (#‘𝐵) ∈ ℝ+)
18 ltaddrp 11827 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ+) → (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
1916, 17, 18syl2an 494 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
2012, 15, 193jca 1240 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → ((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
219, 11, 20syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
22 fzolb 12433 . . . . . . . 8 ((#‘𝐴) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ ((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
2321, 22sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (#‘𝐴) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
24 fzoend 12516 . . . . . . 7 ((#‘𝐴) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) → (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
266, 25eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
27 ccatval2 13317 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴))))
2826, 27syld3an3 1368 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴))))
295oveq1d 6630 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)))
307nn0cnd 11313 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
31 lencl 13279 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 11313 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
33 addcl 9978 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℂ)
34 1cnd 10016 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
35 simpl 473 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
3633, 34, 35sub32d 10384 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘𝐴)) − 1))
37 pncan2 10248 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘𝐴)) = (#‘𝐵))
3837oveq1d 6630 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘𝐴)) − 1) = ((#‘𝐵) − 1))
3936, 38eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((#‘𝐵) − 1))
4030, 32, 39syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((#‘𝐵) − 1))
4129, 40eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((#‘𝐵) − 1))
42413adant3 1079 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((#‘𝐵) − 1))
4342fveq2d 6162 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘(((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴))) = (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)))
4428, 43eqtrd 2655 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)))
453, 44eqtrd 2655 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)))
46 lsw 13306 . . . 4 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝐵) = (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)))
4746eqcomd 2627 . . 3 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)) = ( lastS ‘𝐵))
48473ad2ant2 1081 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)) = ( lastS ‘𝐵))
4945, 48eqtrd 2655 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ( lastS ‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3190  c0 3897   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034  cmin 10226  cn 10980  cz 11337  +crp 11792  ..^cfzo 12422  #chash 13073  Word cword 13246   lastS clsw 13247   ++ cconcat 13248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-hash 13074  df-word 13254  df-lsw 13255  df-concat 13256
This theorem is referenced by:  lswccats1  13365
  Copyright terms: Public domain W3C validator