Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltweuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltweuz 12954
 Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltweuz < We (ℤ𝐴)

Proof of Theorem ltweuz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 7239 . . . . 5 Ord ω
2 ordwe 5897 . . . . 5 (Ord ω → E We ω)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 E We ω
4 rdgeq2 7677 . . . . . . . . 9 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) = rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
54reseq1d 5550 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω))
6 isoeq1 6730 . . . . . . . 8 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴))))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴))))
8 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (ℤ𝐴) = (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
9 isoeq5 6734 . . . . . . . 8 ((ℤ𝐴) = (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
11 0z 11580 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
1211elimel 4294 . . . . . . . 8 if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) ∈ ℤ
13 eqid 2760 . . . . . . . 8 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω)
1412, 13om2uzisoi 12947 . . . . . . 7 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
157, 10, 14dedth2v 4287 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)))
16 isocnv 6743 . . . . . 6 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ𝐴), ω))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ𝐴), ω))
18 dmres 5577 . . . . . . . 8 dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴))
19 omex 8713 . . . . . . . . 9 ω ∈ V
2019inex1 4951 . . . . . . . 8 (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴)) ∈ V
2118, 20eqeltri 2835 . . . . . . 7 dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) ∈ V
22 cnvimass 5643 . . . . . . 7 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ⊆ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
2321, 22ssexi 4955 . . . . . 6 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
2423ax-gen 1871 . . . . 5 𝑦((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
25 isowe2 6763 . . . . 5 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ𝐴), ω) ∧ ∀𝑦((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V) → ( E We ω → < We (ℤ𝐴)))
2617, 24, 25sylancl 697 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ( E We ω → < We (ℤ𝐴)))
273, 26mpi 20 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → < We (ℤ𝐴))
28 uzf 11882 . . . 4 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2928fdmi 6213 . . 3 dom ℤ = ℤ
3027, 29eleq2s 2857 . 2 (𝐴 ∈ dom ℤ → < We (ℤ𝐴))
31 we0 5261 . . 3 < We ∅
32 ndmfv 6379 . . . 4 𝐴 ∈ dom ℤ → (ℤ𝐴) = ∅)
33 weeq2 5255 . . . 4 ((ℤ𝐴) = ∅ → ( < We (ℤ𝐴) ↔ < We ∅))
3432, 33syl 17 . . 3 𝐴 ∈ dom ℤ → ( < We (ℤ𝐴) ↔ < We ∅))
3531, 34mpbiri 248 . 2 𝐴 ∈ dom ℤ → < We (ℤ𝐴))
3630, 35pm2.61i 176 1 < We (ℤ𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196  ∀wal 1630   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ∩ cin 3714  ∅c0 4058  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302   ↦ cmpt 4881   E cep 5178   We wwe 5224  ◡ccnv 5265  dom cdm 5266   ↾ cres 5268   “ cima 5269  Ord word 5883  ‘cfv 6049   Isom wiso 6050  (class class class)co 6813  ωcom 7230  reccrdg 7674  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880 This theorem is referenced by:  ltwenn  12955  ltwefz  12956  uzsinds  12980  bpolylem  14978  ltbwe  19674  dyadmax  23566  omeiunle  41237
 Copyright terms: Public domain W3C validator