Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omeiunle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeiunle 40054
Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunle.nph 𝑛𝜑
omeiunle.ne 𝑛𝐸
omeiunle.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunle.x 𝑋 = dom 𝑂
omeiunle.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
omeiunle.e (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
Assertion
Ref Expression
omeiunle (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunle
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12201 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 omeiunle.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
3 omeiunle.x . . . 4 𝑋 = dom 𝑂
4 omeiunle.nph . . . . . 6 𝑛𝜑
5 omeiunle.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
65ffvelrnda 6317 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
7 elpwi 4142 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
98ex 450 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛𝑍 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋))
104, 9ralrimi 2951 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
11 iunss 4529 . . . . 5 ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
1210, 11sylibr 224 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
132, 3, 12omecl 40040 . . 3 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
141, 13sseldi 3582 . 2 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
155ffnd 6005 . . . . 5 (𝜑𝐸 Fn 𝑍)
16 omeiunle.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑁)
17 fvex 6160 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) ∈ V
1816, 17eqeltri 2694 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
1918a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ V)
20 fnex 6438 . . . . 5 ((𝐸 Fn 𝑍𝑍 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
2115, 19, 20syl2anc 692 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ V)
22 rnexg 7048 . . . 4 (𝐸 ∈ V → ran 𝐸 ∈ V)
2321, 22syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝐸 ∈ V)
242, 3omef 40033 . . . 4 (𝜑𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
25 frn 6012 . . . . 5 (𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋 → ran 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑋)
265, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑋)
2724, 26fssresd 6030 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ↾ ran 𝐸):ran 𝐸⟶(0[,]+∞))
2823, 27sge0xrcl 39925 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ∈ ℝ*)
292adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
3029, 3, 8omecl 40040 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
31 eqid 2621 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
324, 30, 31fmptdf 6345 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
3319, 32sge0xrcl 39925 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
34 fvex 6160 . . . . . . . 8 (𝐸𝑛) ∈ V
3534rgenw 2919 . . . . . . 7 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V
36 dfiun3g 5340 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
3735, 36ax-mp 5 . . . . . 6 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛))
3837a1i 11 . . . . 5 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
395feqmptd 6208 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)))
40 omeiunle.ne . . . . . . . . . . 11 𝑛𝐸
41 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑚
4240, 41nffv 6157 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐸𝑚)
43 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐸𝑛)
44 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝐸𝑚) = (𝐸𝑛))
4542, 43, 44cbvmpt 4711 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛))
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4739, 46eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4847rneqd 5315 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐸 = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4948unieqd 4414 . . . . 5 (𝜑 ran 𝐸 = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
5038, 49eqtr4d 2658 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran 𝐸)
5150fveq2d 6154 . . 3 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (𝑂 ran 𝐸))
52 fnrndomg 9305 . . . . . 6 (𝑍 ∈ V → (𝐸 Fn 𝑍 → ran 𝐸𝑍))
5319, 15, 52sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐸𝑍)
5416uzct 38736 . . . . . 6 𝑍 ≼ ω
5554a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ≼ ω)
56 domtr 7956 . . . . 5 ((ran 𝐸𝑍𝑍 ≼ ω) → ran 𝐸 ≼ ω)
5753, 55, 56syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐸 ≼ ω)
582, 3, 26, 57omeunile 40042 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ran 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
5951, 58eqbrtrd 4637 . 2 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
60 ltweuz 12703 . . . . . 6 < We (ℤ𝑁)
61 weeq2 5065 . . . . . . 7 (𝑍 = (ℤ𝑁) → ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ𝑁)))
6216, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ𝑁))
6360, 62mpbir 221 . . . . 5 < We 𝑍
6463a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < We 𝑍)
6519, 24, 5, 64sge0resrn 39944 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑂𝐸)))
66 fcompt 6357 . . . . . 6 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂𝐸) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))))
67 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑛𝑂
6867, 42nffv 6157 . . . . . . . 8 𝑛(𝑂‘(𝐸𝑚))
69 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑚(𝑂‘(𝐸𝑛))
7044fveq2d 6154 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑂‘(𝐸𝑚)) = (𝑂‘(𝐸𝑛)))
7168, 69, 70cbvmpt 4711 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
7271a1i 11 . . . . . 6 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7366, 72eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂𝐸) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7424, 5, 73syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐸) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7574fveq2d 6154 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂𝐸)) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
7665, 75breqtrd 4641 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
7714, 28, 33, 59, 76xrletrd 11940 1 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748  wral 2907  Vcvv 3186  wss 3556  𝒫 cpw 4132   cuni 4404   ciun 4487   class class class wbr 4615  cmpt 4675   We wwe 5034  dom cdm 5076  ran crn 5077  cres 5078  ccom 5080   Fn wfn 5844  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  ωcom 7015  cdom 7900  0cc0 9883  +∞cpnf 10018  *cxr 10020   < clt 10021  cle 10022  cuz 11634  [,]cicc 12123  Σ^csumge0 39902  OutMeascome 40026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-ac2 9232  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-omul 7513  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-oi 8362  df-card 8712  df-acn 8715  df-ac 8886  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-sum 14354  df-sumge0 39903  df-ome 40027
This theorem is referenced by:  omeiunltfirp  40056  omeiunlempt  40057  caratheodorylem2  40064
  Copyright terms: Public domain W3C validator