Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetpmtr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetpmtr2 30199
Description: The determinant of a matrix with permuted columns is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetpmtr.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t · = (.r𝑅)
mdetpmtr2.e 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖𝑀(𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
mdetpmtr2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr2
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
2 simplr 809 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑁 ∈ Fin)
3 mdetpmtr.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 mdetpmtr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
53, 4mattposcl 20461 . . . 4 (𝑀𝐵 → tpos 𝑀𝐵)
65ad2antrl 766 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → tpos 𝑀𝐵)
7 simprr 813 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑃𝐺)
8 mdetpmtr.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
9 mdetpmtr.g . . . 4 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
10 mdetpmtr.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
11 mdetpmtr.z . . . 4 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
12 mdetpmtr.t . . . 4 · = (.r𝑅)
13 mdetpmtr2.e . . . . . 6 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖𝑀(𝑃𝑗)))
14 ovtpos 7536 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖) = (𝑖𝑀(𝑃𝑗))
1514eqcomi 2769 . . . . . . . 8 (𝑖𝑀(𝑃𝑗)) = ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖)
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑀(𝑃𝑗)) = ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖))
1716mpt2eq3ia 6885 . . . . . 6 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖𝑀(𝑃𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖))
1813, 17eqtri 2782 . . . . 5 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖))
1918tposmpt2 7558 . . . 4 tpos 𝐸 = (𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖))
203, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 19mdetpmtr1 30198 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (tpos 𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘tpos 𝐸)))
211, 2, 6, 7, 20syl22anc 1478 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘tpos 𝐸)))
228, 3, 4mdettpos 20619 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷𝑀))
2322ad2ant2r 800 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷𝑀))
24 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25 simp2 1132 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
2673ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃𝐺)
27 simp3 1133 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
28 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2928, 9symgfv 18007 . . . . . . . 8 ((𝑃𝐺𝑗𝑁) → (𝑃𝑗) ∈ 𝑁)
3026, 27, 29syl2anc 696 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑃𝑗) ∈ 𝑁)
31 simp1rl 1305 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀𝐵)
323, 24, 4, 25, 30, 31matecld 20434 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑀(𝑃𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
333, 24, 4, 2, 1, 32matbas2d 20431 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖𝑀(𝑃𝑗))) ∈ 𝐵)
3413, 33syl5eqel 2843 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐸𝐵)
358, 3, 4mdettpos 20619 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝐵) → (𝐷‘tpos 𝐸) = (𝐷𝐸))
361, 34, 35syl2anc 696 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷‘tpos 𝐸) = (𝐷𝐸))
3736oveq2d 6829 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘tpos 𝐸)) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
3821, 23, 373eqtr3d 2802 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  ccom 5270  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  tpos ctpos 7520  Fincfn 8121  Basecbs 16059  .rcmulr 16144  SymGrpcsymg 17997  pmSgncpsgn 18109  CRingccrg 18748  ℤRHomczrh 20050   Mat cmat 20415   maDet cmdat 20592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-xor 1614  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-word 13485  df-lsw 13486  df-concat 13487  df-s1 13488  df-substr 13489  df-splice 13490  df-reverse 13491  df-s2 13793  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-gim 17902  df-cntz 17950  df-oppg 17976  df-symg 17998  df-pmtr 18062  df-psgn 18111  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-rnghom 18917  df-drng 18951  df-subrg 18980  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-cnfld 19949  df-zring 20021  df-zrh 20054  df-dsmm 20278  df-frlm 20293  df-mat 20416  df-mdet 20593
This theorem is referenced by:  mdetpmtr12  30200
  Copyright terms: Public domain W3C validator