Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadjunre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meadjunre 39168
Description: The measure of the union of two disjoint sets, with finite measure, is the sum of the measures, Property 112C (a) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meadjunre.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meadjunre.x 𝑆 = dom 𝑀
meadjunre.a (𝜑𝐴𝑆)
meadjunre.b (𝜑𝐵𝑆)
meadjunre.d (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
meadjunre.r (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
meadjunre.f (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
meadjunre (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) + (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem meadjunre
StepHypRef Expression
1 meadjunre.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 meadjunre.x . . 3 𝑆 = dom 𝑀
3 meadjunre.a . . 3 (𝜑𝐴𝑆)
4 meadjunre.b . . 3 (𝜑𝐵𝑆)
5 meadjunre.d . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
61, 2, 3, 4, 5meadjun 39154 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
7 meadjunre.r . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
8 meadjunre.f . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ)
97, 8rexaddd 11893 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)) = ((𝑀𝐴) + (𝑀𝐵)))
106, 9eqtrd 2638 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) + (𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  cun 3532  cin 3533  c0 3868  dom cdm 5023  cfv 5785  (class class class)co 6522  cr 9786   + caddc 9790   +𝑒 cxad 11771  Meascmea 39141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-disj 4543  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-sup 8203  df-oi 8270  df-card 8620  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-rp 11660  df-xadd 11774  df-ico 12003  df-icc 12004  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-seq 12614  df-exp 12673  df-hash 12930  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-clim 14008  df-sum 14206  df-sumge0 39055  df-mea 39142
This theorem is referenced by:  meadif  39171  meaiininclem  39175
  Copyright terms: Public domain W3C validator