Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meassre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meassre 40001
Description: If the measure of a measurable set is real, then the measure of any of its measurable subsets is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meassre.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meassre.a (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
meassre.r (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
meassre.s (𝜑𝐵𝐴)
meassre.b (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑀)
Assertion
Ref Expression
meassre (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem meassre
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 12222 . 2 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 0xr 10030 . . . 4 0 ∈ ℝ*
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10036 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6 meassre.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
7 eqid 2621 . . . 4 dom 𝑀 = dom 𝑀
8 meassre.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑀)
96, 7, 8meaxrcl 39985 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
106, 8meage0 39999 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝐵))
11 meassre.r . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
1211rexrd 10033 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
13 meassre.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
14 meassre.s . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
156, 7, 8, 13, 14meassle 39987 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) ≤ (𝑀𝐴))
1611ltpnfd 11899 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) < +∞)
179, 12, 5, 15, 16xrlelttrd 11935 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) < +∞)
183, 5, 9, 10, 17elicod 12166 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ (0[,)+∞))
191, 18sseldi 3581 1 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  wss 3555  dom cdm 5074  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  *cxr 10017  [,)cico 12119  Meascmea 39973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-salg 39836  df-sumge0 39887  df-mea 39974
This theorem is referenced by:  meadif  40003  meaiininclem  40007  vonioolem2  40202
  Copyright terms: Public domain W3C validator