MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcld2 22858
Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metcld2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ⊆ 𝑆))

Proof of Theorem metcld2
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21metcld 22857 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ∀𝑥𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆)))
3 19.23v 1888 . . . . 5 (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆))
4 vex 3175 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
54elima2 5378 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥))
6 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑋𝑆𝑋)
7 elfvdm 6115 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8 ssexg 4727 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑋𝑋 ∈ dom ∞Met) → 𝑆 ∈ V)
96, 7, 8syl2anr 493 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ∈ V)
10 nnex 10876 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
11 elmapg 7735 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝑆))
129, 10, 11sylancl 692 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝑆))
1312anbi1d 736 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
1413exbidv 1836 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
155, 14syl5rbb 271 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ 𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ))))
1615imbi1d 329 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) → 𝑥𝑆)))
173, 16syl5bb 270 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) → 𝑥𝑆)))
1817albidv 1835 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑥𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) → 𝑥𝑆)))
19 dfss2 3556 . . 3 (((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) → 𝑥𝑆))
2018, 19syl6bbr 276 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑥𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ⊆ 𝑆))
212, 20bitrd 266 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ⊆ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wal 1472   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  Vcvv 3172  wss 3539   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  cima 5031  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7722  cn 10870  ∞Metcxmt 19501  MetOpencmopn 19506  Clsdccld 20578  𝑡clm 20788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cc 9118  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-card 8626  df-acn 8629  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-fz 12156  df-topgen 15876  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-lm 20791  df-1stc 21000
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator