MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcld2 23325
Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metcld2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ⊆ 𝑆))

Proof of Theorem metcld2
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21metcld 23324 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ∀𝑥𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆)))
3 19.23v 2020 . . . . 5 (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆))
4 vex 3343 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
54elima2 5630 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥))
6 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑋𝑆𝑋)
7 elfvdm 6382 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8 ssexg 4956 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑋𝑋 ∈ dom ∞Met) → 𝑆 ∈ V)
96, 7, 8syl2anr 496 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ∈ V)
10 nnex 11238 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
11 elmapg 8038 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝑆))
129, 10, 11sylancl 697 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝑆))
1312anbi1d 743 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
1413exbidv 1999 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
155, 14syl5rbb 273 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ 𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ))))
1615imbi1d 330 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) → 𝑥𝑆)))
173, 16syl5bb 272 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) → 𝑥𝑆)))
1817albidv 1998 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑥𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) → 𝑥𝑆)))
19 dfss2 3732 . . 3 (((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) → 𝑥𝑆))
2018, 19syl6bbr 278 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑥𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ⊆ 𝑆))
212, 20bitrd 268 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ⊆ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1630   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  cima 5269  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑚 cmap 8025  cn 11232  ∞Metcxmt 19953  MetOpencmopn 19958  Clsdccld 21042  𝑡clm 21252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-card 8975  df-acn 8978  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-fz 12540  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-lm 21255  df-1stc 21464
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator